∫e^(-ikx)/(x-c)dxの計算

この記事では， $\int_{-\infty}^\infty f(z) dz \equiv \int_{-\infty}^\infty \dfrac{e^{-ikx}}{x-\alpha+i\beta}dx$ ただし， $(\beta>0)$ の値を求めます．

それには，複素積分の知識を用います．

$\left( \int_{C_R} + \int_{\infty}^{-\infty} \right) \ f(z) \ dz = 2 \pi i \mathrm{Res}_{z= \alpha - i \beta }f(z) \tag{1}$

ですね．Jordanの補助定理というものを用いるには，図の様に積分のループは下半面にとります．

すると， $\int_{C_R} f(z) dz \to 0$ となり簡単になります．

よって， $\mathrm{Res}_{z= \alpha - i \beta }f(z)$ を計算すればこの問題は解決します．

それは，

$\mathrm{Res}_{z= \alpha - i \beta }f(z) = \lim_{z \to \alpha - i \beta}(z -\alpha + i \beta)\dfrac{e^{-ikz}}{z- \alpha+ i \beta} = e^{-ik \alpha - k \beta } \tag{2}$

となります．

よって，

$\int_{-\infty}^\infty \dfrac{e^{-ikx}}{x-\alpha+i\beta}dx = -2 \pi i e^{-ik \alpha - k \beta}$

が求まりました．それでは今日はこの辺で，お疲れ様でした．

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