任意の固有値と固有ベクトルを持つ行列の求め方

固有値 \lambda_1,\lambda_2,\cdots とそれに対応する 互いに線形独立な固有ベクトル \bm{v}_1,\bm{v}_2,\cdots を持つ 行列 A の作り方を考えます．一見，難しそうですが， 結果は簡単です．

それでは，さっそく求めてみます． 求めるｎ次正方行列 A に対し，固有値 \lambda_i \ \ \ (i=1,2,3,\cdots,n) を持つ 列ベクトル \bm{v}_i とすると，

A \bm{v}_i = \lambda_i \bm{v}_i \tag{1}

が成立します． すると，ｎ次の正方行列

P=\left( \bm{v}_1\bm{v}_2 \cdots \bm{v}_n \right) \tag{2}

同じく行列

\Lambda = \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \lambda_n\end{pmatrix} \tag{3}

として，まとめて表すことができて，

A P = P \Lambda \tag{4}

ここで P は，線形独立な列ベクトルからなるので， 逆行列が存在して，

A = P \Lambda P^{-1} \tag{5}

と求まりました．これは少し変形してやると，

\Lambda = P^{-1} A P

なので，対角化の作業を逆にしたものであることが分かります． なかなか興味深いです．

それでは，今日はこの辺で．