確率,場合の数でよく出てくる ですが, と が自然数の時, 本当に, は で割りきれるのでしょうか.これを示してみます. かなり簡単に示せます.
まず, に含まれる素数 の数 は, ガウス記号を用いて,
であることが少し考えればわかります.
これを使うと, から並ぶ 個の数の積 に含まれる の数は,
となります.そして, に含まれる の数は,
ここで, を任意に取った時,
を示せれば,OKです.
式 は簡単に示せます. 一般に実数 に対して,
が言えるので,
式 を辺々足して,
よって,式 の値は整数なので, か になるので, 式 が成立することになります.これで, が整数になることが示せました.
さらに言えば,式 の中辺を で和をとった値 ,
は, は で割れることを示しています. 今日はここまで,お疲れ様でした.