行列の階数を区別するものは何か？

みなさんは，次行列の rank A について， rank A = n の時，正則なのはわかった，じゃあ， rank A < n の時は，どんな性質を持っているのだろう．特に $rank A = i,j\ \ \ (i,j<n, i \neq j)$ の時，との違いは？と考えたことはありませんか？その疑問の一つに答えるのが，この記事です．数学になれている方は，「具体例」を飛ばして，「定理」まで飛んでしまって構いません．

具体例

まずは，次の二次正方行列( $\dim S=2$ )の違いを調べてみましょう．

$S=\begin{pmatrix}s_{11} & s_{12} \\s_{21} & s_{22}\end{pmatrix}$

$T=\begin{pmatrix}t_{11} & t_{12} \\kt_{11} & kt_{12}\end{pmatrix}$

$U=\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}$

ここで，はあるでない実数です．これらの行列は，上から順に $rank\ S=2\ ,\ rank\ T=1\ ,\ rankU=0$ です．この内，は， $\det S \neq 0$ として区別がつきます．では，とは，どうやって区別したらいいのでしょうか？

僕は，試しに固有方程式を思い出して， $\det (T-\lambda I)$ と $\det (U-\lambda I)$ （ただし， $\lambda$ はある数，は単位行列）を作ってみることにしました．

すると，

$\det (T-\lambda I) &=(t_{11}-\lambda)(kt_{12}-\lambda)-kt_{11}k_{12} \\&= \lambda^2 -(t_{11}+kt_{12})\lambda \tag{1}$

$\det (U-\lambda I) = \lambda^2 \tag{2}$

なんらかの対称性により，の方では， $\lambda$ のゼロ乗の係数をに，では， $\lambda$ の一乗とゼロ乗の係数をになったと考えられるのではないでしょうか？

次に同様に三次の行列（ $\dim S = 3$ ）を考えてみます．

$\det (S-\lambda I) &= \det \begin{pmatrix} s_{11}-\lambda & s_{12} & s_{13} \\s_{21} & s_{22}-\lambda & s_{23} \\s_{31} & s_{32} & s_{33}-\lambda\end{pmatrix} \\&= (s_{11}-\lambda)(s_{22}-\lambda)(s_{33}-\lambda) + s_{21}s_{32}s_{13} + s_{12}s_{23}s_{31} \\&- s_{12}s_{21}(s_{33}-\lambda) -s_{23}s_{32}(s_{11} -\lambda)-s_{13}s_{31}(s_{22} -\lambda) \\&= -\lambda^3 + (s_{11}+s_{22}+s_{33})\lambda^2 -(s_{12}s_{21}+s_{23}s_{32}+s_{31}s_{13}-s_{11}s_{22}-s_{22}s_{33}-s_{33}s_{11})\lambda \\&+ (s_{11}s_{22}s_{33}+s_{21}s_{32}s_{13}+s_{12}s_{23}s_{31}-s_{12}s_{21}s_{33}-s_{23}s_{32}s_{11}-s_{31}s_{13}s_{22}) \\&= -\lambda^3 +tr\ S\ \lambda^2 -med\ S\ \lambda +\det S \tag{3}$

式 (3) で， $med \ S = s_{12}s_{21}+s_{23}s_{32}+s_{31}s_{13}-s_{11}s_{22}-s_{22}s_{33}-s_{33}s_{11}$ と定義しました．（ med は，「中間」 medium から名づけました．）

ここで， $rank \ S = 1$ の場合の一例を考えてみましょう．例えば，

$S= \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} \\k_1 s_{11} & k_1 s_{12} & k_1 s_{13} \\k_2 s_{11} & k_2 s_{12} & k_2 s_{13}\end{pmatrix}$

ここで， k_1 と k_2 は，ある定数です．この時，

三次の係数： $-1 \neq 0$ ，

二次の係数： $tr S = s_{11}+k_1s_{22}+k_2s_{33} \neq 0$

一次の係数： $med S = k_1s_{11}s_{12}+k_1k_2s_{12}s_{13}+k_2s_{11}s_{13} - k_1s_{11}s_{12}-k_1k_2s_{12}s_{13}-k_2s_{11}s_{13} = 0$

０次の係数： $\det S = 0$

またまた，なんらかの対称性により，一次とゼロ次の係数はゼロになりました．

次は， $rank \ S= 0$ の時を考えます．

$S= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

この時，三次の係数以外は，すべてゼロになります．

まとめると， $\dim S = 2$ の時， $rank \ S =2$ なら係数がゼロにならない， $rank \ S=1$ の時，ゼロ次の係数がゼロ， $rank \ S =0$ なら，一次の係数までゼロ． $\dim S =3$ の時， $rank \ S=1$ の時，次までゼロ， $rank\ S=0$ の時，次までゼロ．ここから予想できるのは，次のような法則です．

$x =\dim S - rank \ S -1= n-r-1$

と置くと，次の項まで，ゼロになるのでしょう．

実際それは正しく，なりたちます．詳しくは，次の証明を見てください．

定理

theorem

n次の正方行列で， rankA=r(<n) のとき，特性多項式 $\det (A-\lambda I)$ は， $\lambda^i (i=0,1,2,\cdots,n-r-1)$ の係数がとなる．

（証明）

右基本変形，左基本変形によって（この時， P,Q は次正則行列），任意の次正方行列は，次の標準形（ｎ次正方行列）に変形することができる．

$B&=QAP \\&=\begin{pmatrix}I_r & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}$

ただし， I_r は次の単位行列とする．

ここで， $A-\lambda$ の特性多項式 $\Phi$ を考え，行列式を取る記号を $\det$ でなく， $| \ \ |$ で表すと，

$|A- \lambda I | &= |Q^{-1}| |Q(A - \lambda)P||P^{-1}| \\&= |Q^{-1}||P^{-1}||QAP-\lambda QIP| \\&= |Q^{-1}||P^{-1}||B-\lambda QP|$

ここで， $QP=S^{-1}$ と置くと， $S^{-1}$ は正則行列なので，逆行列を持ちますので，

$|A- \lambda I |&= |Q^{-1}||P^{-1}||B-\lambda S^{-1}| \\&= |Q^{-1}||P^{-1}||S^{-1}||SB-\lambda I| \\&= |Q^{-1}||P^{-1}||QP|\left( \begin{pmatrix}S_{11} & S_{12} \\S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_r & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda I_r & 0 \\0 & \lambda I_{n-r}\end{pmatrix} \right) \\&=\begin{pmatrix}S_{11} - \lambda I_r & 0 \\S_{21} & -\lambda I_{n-r}\end{pmatrix} \\&=|S_{11}-\lambda I_r||(-1)^{n-r}\lambda I_{n-r}| \\&= (-1)^{n-r} (r-th \ order \ polynomial \ of\ \lambda) |\lambda I_{n-r}| \\&= (-1)^{n-r} (r-th \ order\ polynomial \ of\ \lambda) \lambda^{n-r}$

よって，次多項式である，の特性多項式は， $\lambda$ の次から， n-r-1 次の項 [*] までの係数は，ゼロとなります．

[*]	: ここでは正則なので，は正則．しかし， $S_{11}$ も正則で $rank\ S_{11}=r$ となるとは限らず，正確には，「少なくとも次から次までは，係数がゼロ．」「しかし，n-r次以上の係数もゼロかも知れない」となります．

長年の疑問が晴れてすっきりしました（安堵）．

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