三重対角行列の特性多項式

三重対角行列の特性多項式を求める漸化式を 求めてみます．

まず，三重対角行列 A を書きます．

A=\begin{pmatrix}\alpha_1 & \beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\\gamma_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\0 & \gamma_2 & \alpha_3 & \cdots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha_{n-1} & \beta_{n-1} \\0 & 0 & 0 & \cdots & \gamma_{n-1} & \alpha_n\end{pmatrix}\tag{1}

単位行列を I として，この行列の特性多項式を求めます． つまり， | \lambda I - A | を求めます． 縦線での括弧は，行列式を表します． f_n(\lambda) を次のように定義します．

f_{n}(\lambda) \equiv \det \lambda I - A =\det \begin{pmatrix}\lambda - \alpha_1 & -\beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\-\gamma_1 & \lambda-\alpha_2 & -\beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\0 & -\gamma_2 & \lambda-\alpha_3 & \cdots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda-\alpha_{n-1} & -\beta_{n-1} \\0 & 0 & 0 & \cdots & -\gamma_{n-1} & \lambda-\alpha_n\end{pmatrix}\tag{2}

すると，一番下の行（横ベクトル）のラプラス展開によって，次のような漸化式が得られます．

f_{n}(\lambda) &=\det \begin{pmatrix}\lambda - \alpha_1 & -\beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\-\gamma_1 & \lambda-\alpha_2 & -\beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\0 & -\gamma_2 & \lambda-\alpha_3 & \cdots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda-\alpha_{n-1} & -\beta_{n-1} \\0 & 0 & 0 & \cdots & -\gamma_{n-1} & \lambda-\alpha_n\end{pmatrix} \\&= (\lambda -\alpha_n)f_{n-1} - (-\gamma_{n-1})\det\begin{pmatrix}\lambda - \alpha_1 & -\beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\-\gamma_1 & \lambda-\alpha_2 & -\beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\0 & -\gamma_2 & \lambda-\alpha_3 & \cdots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda-\alpha_{n-2} & 0 \\0 & 0 & 0 & \cdots & -\gamma_{n-2} & -\beta_{n-1}\end{pmatrix}\tag{3}

ここで，最後の式で第二項は，最後の列（縦ベクトル）で展開すると， f_{n-2} と -\beta_{n-1} の積で表現できまして，

f_{n}(\lambda) = (\lambda -\alpha_n)f_{n-1} - \beta_{n-1} \gamma_{n-1} f_{n-2}\tag{4}

こうして，うまく漸化式が立てられました． 実際に計算してみると， f_0(\lambda)=1 とすれば， うまく計算のつじつまが合いまして，

f_0(\lambda)=1 \tag{5}
f_1(\lambda)= \lambda - \alpha_1 \tag{6}
f_2(\lambda)=(\lambda - \alpha_1)(\lambda - \alpha_2)- \beta_1 \gamma_1 \tag{7}
f_3(\lambda)=(\lambda - \alpha_1)(\lambda - \alpha_2)(\lambda - \alpha_3)- \beta_1 \gamma_1 (\lambda - \alpha_3) - \beta_2 \gamma_2 (\lambda - \alpha_1) \tag{8}

と，この様に次々特性多項式が求まっていきます． それでは，今日はこの辺で．