収束因子を使ったフーリエ変換の拡張の例

物理学では数学的には少し怪しい操作をして， 有用な結果を得られる事があります． その一つが収束因子を使ったフーリエ変換です．

１のフーリエ変換

まずは普通にフーリエ変換をしてみましょう． すると， \mathcal{F[1]} は，

\mathcal{F}[1] &= \int_{-\infty}^{\infty} 1 e^{-ikx} dx \\&= \left[ \dfrac{e^{-ikx}}{-ik} \right]_{-\infty}^{\infty} \tag{1}

となります． \lim_{x \to \pm \infty}e^{-ikx} が収束しないので， この値は定まりません．

ここで，正の微小量 \alpha(>0) を用いて， e^{-\alpha |x|} を積分核 e^{-ikx} に追加して みましょう． \lim_{x \to \pm \infty}e^{-ikx- \alpha |x| } = 0 です．

\mathcal{F}[1] &= \lim_{\alpha \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} 1 e^{-ikx-\alpha |x|} dx \\&= \lim_{\alpha \to 0} \int_{-\infty}^{0} 1 e^{-ikx + \alpha x} dx + \int_{0}^{\infty} 1 e^{-ikx - \alpha x} dx \\&= \lim_{\alpha \to 0} \left[ \dfrac{e^{-ikx + \alpha x}}{-ik + \alpha} \right]_{-\infty}^{0} \\&+ \lim_{\alpha \to 0} \left[ \dfrac{e^{-ikx - \alpha x}}{-ik - \alpha} \right]_{0}^{\infty} \\&= \lim_{\alpha \to 0} \dfrac{1}{-ik + \alpha} - \dfrac{1}{-ik - \alpha} \\&= \lim_{\alpha \to 0} 2\dfrac{\alpha}{k^2 + \alpha^2} \tag{2}

ここで， k=\alpha \tan \theta と変数変換してこれを k : -\infty \to \infty で積分すると，

\lim_{\alpha \to 0} \int_{-\infty}^\infty 2\dfrac{\alpha}{k^2 + \alpha^2} dk &= 2\pi \tag{3}

となります．ここで，式 (2) の正体は何かと言うと， 2 \pi \delta(k) なのです． ここで \delta(k) はディラックのデルタ関数です．

このイメージを簡単に述べておくと，積分値が \pi である 関数 \dfrac{1}{k^2+1} を横に微小量 \alpha 倍して \dfrac{1}{(k/\alpha)^2+1} となり， それでは曲線下の面積が \alpha \pi になってしまうので， こんどは縦方向に 1/\alpha 倍します．すると， \alpha \to 0 の極限で これは \pi \delta(k) になります．つまり，

\mathcal{F}[1] &= \lim_{\alpha \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx-\alpha |x|} dx \\&= \lim_{\alpha \to 0} 2 \dfrac{\alpha}{k^2 + \alpha^2} \\&= 2\pi \delta(k) \tag{4}

です．

ｘのフーリエ変換

今度は x のフーリエ変換を求めます． 今回この記事を書いた動機はこれを言いたかったからです．

\mathcal{F}[x] &= \lim_{\alpha \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ikx-\alpha |x|} dx \\&= \lim_{\alpha \to 0} \int_{-\infty}^{0} x e^{-ikx + \alpha x} dx + \int_{0}^{\infty} x e^{-ikx - \alpha x} dx \\&= \lim_{\alpha \to 0} \left[ \dfrac{xe^{-ikx + \alpha x}}{-ik + \alpha} \right]_{-\infty}^{0} \\&+ \lim_{\alpha \to 0} \left[ \dfrac{xe^{-ikx - \alpha x}}{-ik - \alpha} \right]_{0}^{\infty} \\&- \int_{-\infty}^{0} \dfrac{e^{-ikx + \alpha x}}{-ik + \alpha} dx \\ &- \int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-ikx - \alpha x}}{-ik + \alpha} dx \\&= \lim_{\alpha \to 0} \dfrac{-1}{(-ik+\alpha)^2} + \dfrac{1}{(-ik-\alpha)^2} \\&= \lim_{\alpha \to 0} \dfrac{-4i \alpha k}{(k^2 + \alpha^2)^2} \tag{5}

これは奇関数です．よって単純に積分してもゼロになります． 原点に局在する奇関数，何かピンときませんか？

そうです．これは \dfrac{d}{dk}\delta(k) に関係します．

\dfrac{d}{dk}(2 \pi \delta(k)) &= \lim_{\alpha \to 0} 2 \dfrac{d}{dk}\left( \dfrac{\alpha}{k^2+\alpha^2} \right) \\&= \lim_{\alpha \to 0} 2 \dfrac{-2k \alpha}{(k^2+\alpha^2)^2} \\&= \lim_{\alpha \to 0} \dfrac{-4 \alpha k}{(k^2 + \alpha^2)^2} \\&= (1/i) \mathcal{F}[x]

よって，

\mathcal{F}[x] = 2 \pi i \dfrac{d \delta(k)}{dk}

と云う訳です．これは 超関数の意味 での x のフーリエ変換に一致していますね．

それでは今日はこの辺で，お疲れ様でした．