一般化されたエルミート多項式

この記事では,エルミート多項式を一般化します. 色々,遊んでいます.

準備

いきなりですが,次の演算子の変形ができます.

e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} = \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x)\tag{1}

証明はフーリエ変換を使います.

e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} g(x) &= e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) e^{ikx} dk \\&= e^{f(x)} \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) \dfrac{d}{dx} e^{ikx-f(x)} dk \\&= e^{f(x)} \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) \left( ik - f^\prime(x) \right) e^{ikx-f(x)} dk \\&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) \left( ik - f^\prime(x) \right) e^{ikx} dk \\&= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty ik \hat{g}(k) e^{ikx} dk - f^\prime(x) \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) e^{ikx} dk \\&= \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) e^{ikx} dk - f^\prime(x) \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{g}(k) e^{ikx} dk \\&= \left( \dfrac{d}{dx} - f^\prime(x) \right) g(x)\tag{2}

で, g(x) は任意ですから,

e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} = \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x)\tag{3}

が言えました.さらには,

e^{f(x)}\dfrac{d^n}{dx^n}e^{-f(x)} = \left( \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x) \right)^n\tag{4}

も自明です.

エルミート多項式

(4) の演算子を f(x) = x^2g(x) = 1 とし,調整の為 (-1)^n を掛けると,

H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \dfrac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}\tag{5}

が得られ,また,

H_n(x) = (-1)^n \left( \dfrac{d}{dx} - 2x \right)^n\tag{6}

も出ます.式 (6) は変形して,漸化式,

H_{n+1}(x) &= - \left( \dfrac{d}{dx} - 2x \right) H_n(x) \\\dfrac{d}{dx}H_n(x) &= 2x H_n(x) - H_{n+1}(x)\tag{7}

が得られます.

エルミート多項式の拡張

と言うことはです. f(x)g(x) に好きな関数を入れてやれば, エルミート多項式の拡張が容易に得られます.

単純に f(x)=x^ng(x)=1 が直接的な拡張と言えるでしょう.

僕が気に入っているのは, f(x) = -axg(x) = \dfrac{x^n}{n!}e^{-ax} の時で, これは e^{-ax} を無視して, \dfrac{x^n}{n!} 部分だけを微分する計算になります.

e^{-ax}\dfrac{d^k}{dx^k}e^{ax} \dfrac{x^n}{n!}e^{-ax} = \dfrac{d^k}{dx^k} \left( \dfrac{x^n}{n!} \right) e^{-ax}\tag{8}

であり,

\left( \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x) \right)^n \dfrac{x^n}{n!}e^{-ax} = \dfrac{d^k}{dx^k} \left( \dfrac{x^n}{n!} \right) e^{-ax}\tag{9}

となります.

コメントをしておくと,僕は最初,線形代数のジョルダン標準形で出てくる,冪ゼロ因子の,

(A - \lambda I )^k \bm{v} &\neq 0 (k=1,2,3,\cdots,n-1) \\(A - \lambda I )^k \bm{v} &= 0 (k=n)\tag{10}

のアナロジー \dfrac{d}{dx} \leftrightarrow A, f^\prime(x) \leftrightarrow \lambda I として,これを発見しました. 何か,面白い事が言えそうだと思っています.

今日はここまで,お疲れさまでした!!