今回は物理とは距離を置いて,物理を勉強する上で僕がつきあたった 数学的問題の一つを,厳密さに欠けますが,書こうと思います. 厳密には,積分の順序を交換する時,それぞれの積分が絶対収束することを 言わねばなりません.
実数の物理量 と, の相互相関関数 とは,
と定義されます.注意しておくこととして,相互相関関数は,自己相関関数( の時)と違い,偶関数にはなりません.
これをフーリエ変換するとどうなるか,と言うのが,今回の問題です. やってみますと,
となります.ここで, と を入れ替えれば, が成立します.
余談ですが,もしかすると,ヤコビアンに関する知識が必要かもしれません. つまりは, と置くと, , より,
です.
畳み込み積分というものを定義します.
これもフーリエ変換してみましょう.
こうなりました.何かの参考になれば幸いです.
それでは,今日はこの辺で.