フーリエ変換の三連続積と畳み込み積分の拡張

以前， 相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換 でフーリエ変換の２つの積は，畳み込み積分になる ことを学びましたが，それでは，３つの積はどうなるのでしょうか．短い記事です．

結論から言います．フーリエ変換すると３つの積になる関数は，

f(t) &= (f_1 \ast (f_2 \ast f_3))(t) = \int_{-\infty}^\infty dt_1 f_1(t-t_1) (f_2 \ast f_3)(t_1) \\ &=\int_{-\infty}^\infty dt_1 f_1(t-t_1) \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_2(t_1-t_2) f_3(t_2) \tag{1}

という関数です．確かめてみましょう．上の式をフーリエ変換してみます．

\mathcal{F} f(t) &= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_1(t-t_1) f_2(t_1-t_2) f_3(t_2) \\&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \int_{-\infty}^\infty dt_1 f_2(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1-t_2)} \int_{-\infty}^\infty dt f_1(t-t_1) e^{-i \omega (t-t_1)} \\&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \int_{-\infty}^\infty d(t_1-t_2) f_2(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1-t_2)} \int_{-\infty}^\infty d(t-t_1) f_1(t-t_1) e^{-i \omega (t-t_1)} \\&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \int_{-\infty}^\infty d(t_1-t_2) f_2(t_1-t_2) e^{-i \omega (t_1-t_2)} \mathcal{F} f_1(\omega) \\&= \int_{-\infty}^\infty dt_2 f_3(t_2) e^{-i \omega t_2} \mathcal{F} f_2(\omega) \mathcal{F} f_1(\omega) \\&= \mathcal{F} f_3(\omega) \mathcal{F} f_2(\omega) \mathcal{F} f_1(\omega) \tag{2}

以上，今日はここまで．お疲れ様でした．