エルミート演算子

古典物理量は常に実数であるから，その量子力学での対応量， つまりその物理量の期待値も実数にならなくては困る． そのためには，物理量 $Q$ はエルミート演算子 （hermitian operator)でなければならない．エルミート演算子とは， 二つの量子状態 $\phi$，$\psi$ について

$$\left\{\int \phi^* Q\,\psi~dq\right\}^* = \int \psi^* Q\,\phi~dq$$ (7.5)

$$\Updownarrow$$ (7.6)

$$\langle \phi\,\vert\,Q\,\vert\,\psi \rangle^* = \langle \psi\,\vert\,Q\,\vert\,\phi \rangle$$ (7.7)

を満たす演算子である．

ある演算子 $Q$ に対して

$$\left\{\int \psi^* Q\,\phi~dq\right\}^* = \int \phi^* Q'\,\psi~dq$$

を満たす演算子 $Q'$ を $Q$ のエルミート共役（hermitian conjugate） 演算子と呼び，

$$Q^{\dagger} = Q'$$

と書く． $Q$ がエルミート演算子であるならば，

$$Q = Q^{\dagger}$$

である．すなわち

$$\langle \phi\,\vert\,Q\,\vert\,\psi \rangle^* = \langle \psi\,\vert\,Q^{\dagger}\,\vert\,\phi \rangle$$

である．$\psi$ と $\phi$ が等しいとき

$$\langle \psi\,\vert\,Q\,\vert\,\psi \rangle =$$

となる．