ガウスの法則

積分型

点電荷を囲む閉曲面を通って出ていく電気力線の本数は， 点電荷のもつ電気量を $\varepsilon_0$ で割ったものに等しい．

$$\int_S\bm{E}\cdot\bm{n}\ dS=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

これをガウスの法則という． $\bm{E}\cdot\bm{n}$ は微小面積 $dS$ を垂直に通過する電気力線の本数を表している．

微分型

ベクトル解析のガウスの定理

$$\int_S\bm{E}\cdot\bm{n}\ dS=\int_V\mathrm{div}\,\bm{E}\ dV$$

から，微小体積では

$$\mathrm{div}\,\bm{E}\ dV=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$q/dV$ を $\rho$ と書けば

$$\mathrm{div}\,\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

これはマクスウェルの方程式の 1 つ．微小体積の中に密度 $\rho$ の 電気量があれば，その周囲に $\rho/\varepsilon_0$ の電気力線 $E$ が 発散していることを表している．