ポアソン括弧式

ある物理量 $X(q_1,\cdots,q_{3N},p_1,\cdots,p_{3N},t)$ を時間 $t$ で微分すると， 位置 $q$ と運動量 $p$ も時間の関数であることから

$$\frac{dX}{dt} = \frac{\partial X}{\partial t} + \sum_i\left(\frac... ...tial t} + \frac{\partial X}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}\right)$$

となる．右辺第2項にハミルトンの正準方程式を代入すると

$$\frac{dX}{dt} = \frac{\partial X}{\partial t} + \sum_i\left(\frac... ...al p_i} - \frac{\partial X}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)$$

となる．これを略して

$$\frac{dX}{dt} = \frac{\partial X}{\partial t} + \left\{X,H\right\}$$

と書くことにする．この

$$\left\{X,H\right\} = \sum_i\left(\frac{\partial X}{\partial q_i}\... ...al p_i} - \frac{\partial X}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)$$ (1.23)

をポアソン括弧式という．