流体力学における最小作用の原理(提案)

本記事では, 流体力学, より一般的には, 流体や弾性体を含む連続体力学の基礎方程式であるコーシーの運動量方程式(Cauchy Momentum Equation)について, 従来は力のつり合いから直接与えられてきたものを, 最小作用の原理の枠組みの中で導出する具体的な方法を提案したいと思います.

1.コーシーの運動量方程式

コーシーの運動量方程式というのは, 任意の連続体において運動量の輸送を記述する基本的な式です. この方程式は, 質点に関するニュートンの運動方程式における質点を,広がりのある流体要素に拡張したものであると見ることができます. 流体要素はある体積を持ち, 変形しながら流れていきます. そして, 流体要素の各点は周囲からの応力を受けますので, その項(接触力の項)がニュートンの運動方程式に加わることになります. まずは両方程式をじっと見比べてみてください.

1.1 ニュートンの運動方程式

m\frac{d\bm{v}}{dt} = \bm{F} \tag{1.1}

ここで, 質点の質量,速度をそれぞれ m, \bm{u}, 時間を t, 外力を \bm{F} としています.

1.2 コーシーの運動量方程式

\int_V \rho dV \left[ \frac{D\bm{u}}{Dt} \right] = \oint_{S=\partial V} dS \bm{n}\mathrm{P}+ \int_V \rho dV \tilde{\bm{F}} \tag{1.2}

ここで,流体要素の体積, 表面積, 密度, 速度場をそれぞれ V, S, \rho, \bm{u}, 表面から外に向かう法線ベクトル, そこではたらく応力をそれぞれ, \bm{n}, \mathrm{P}, 単位質量あたりにはたらく外力(体積力)を \tilde{\bm{F}} としています.

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2.ニュートンの運動方程式の導出

まず,ニュートンの運動方程式の導出のポイントだけ復習してみましょう.議論の展開上, 何が変数であり, 何がそうでないかが重要になってくるため, 以降, 変数を極力省略せずに書きます.

2.1 作用

作用 S は以下で定義されます.

S \left[ \bm{x} \right] = \int dt m \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(t), \frac{d \bm{x}(t)}{dt} \right) = \int dt m \left[ \frac{1}{2} \left[ \frac{d \bm{x}(t)}{dt} \right]^{2} - \tilde{U}(\bm{x}(t)) \right] \tag{2.1.1}

ここで, \tilde{\mathcal{L}} はラグランジアン密度であり, 質点の位置ベクトル, 単位質量あたりのポテンシャルエネルギーをそれぞれ \bm{x}(t) , \tilde{U}(\bm{x}(t)) としています. 作用 S は, \bm{x} の汎関数です.

ラグランジアン密度 \tilde{\mathcal{L}} を書きだすと,

\tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(t) , \frac{ d \bm{x}(t)}{dt} \right) \equiv \frac{1}{2} \left[ \frac{d \bm{x}(t)}{dt} \right] ^{2} - \tilde{U} ( \bm{x}(t)) \tag{2.1.2}

です.

2.2 最小作用の原理

\bm{x} による変分 \delta \bm{x}(t) \equiv \bm{x}^{\prime}(t) - \bm{x}(t) を行い, 部分積分を行い, 全微分の項を境界条件により除いて整理すると,
\delta S \left[ \bm{x} \right] = \int dt m \left[ -\frac{d^{2}\bm{x}(t)}{dt^{2}}+\tilde{F}(\bm{x}(t)) \right] \cdot \delta\bm{x}(t) \tag{2.2}

となります. ここで, \delta\frac{d}{dt} が可換であること, \tilde{\bm{F}}(\bm{x}(t))\equiv -\frac{\partial \tilde{U}(\bm{x}(t))}{\partial \bm{x}(t)} であることを用いました. こうして, 最小作用の原理からニュートンの運動方程式が求まります.

3.流体力学への拡張のための道具(オイラー表現, 位置関数)

本記事では, オイラー表現, すなわちすべての物理量を位置 \bm{y} と 時間 t の場の量として取り扱うことにします.速度場, 密度場, 応力(の場)をそれぞれ, \bm{u}(\bm{y},t) , \rho(\bm{y},t) , \mathrm{P}(\bm{y},t)\mathrm{P} はテンソル場です.)と表すことにします.

物理量は流体要素と共に流れていくわけですから, オイラー表現では, 物理量の時間微分はラグランジュ微分(Lagrangian derivative) \frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t} + \bm{u}(\bm{y},t) \cdot \frac{\partial}{\partial \bm{y}} で与えられることになります.

さて,ここで,筆者が「位置関数(position function)」と名付けた新規の場の量を導入します.それは単にその位置を返す関数です.

\bm{x}:(\bm{y},t) \longmapsto \bm{y} \tag{3.1}

位置関数 \bm{x}(\bm{y},t) の時間微分を取ってみます.

\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} &= \frac{\partial \bm{x}(\bm{y},t)}{\partial t}+\left[ \bm{u}(\bm{y},t) \cdot \frac{\partial}{\partial \bm{y}} \right] \bm{x}(\bm{y},t) \\ &= \frac{\partial \bm{y}}{\partial t} + \left[ \bm{u}(\bm{y},t) \cdot \frac{\partial}{\partial \bm{y}} \right] \bm{y} \\ &= \bm{u}(\bm{y},t) \tag{3.2}

となり, この意味で位置関数は「位置」としてwell-defined(矛盾なく定まっているもの)であり, オイラー表現における「位置」の役割を果たしていることが分かります.

位置関数の変分は \delta{\bm{x}}(\bm{y},t) \equiv \bm{x}^{\prime}(\bm{y},t) - \bm{x}(\bm{y},t) であり, 位置関数の変分 \delta と時間微分 \frac{D}{Dt} は可換になります. これで準備が整いました.

4.コーシー運動量方程式の導出

では, いよいよ流体力学の場合を考えます.戦略としては,質点の場合を「包含」するような形で作用を拡張します. それは次のような形になります.

4.1 作用

S \left[ \bm{x} \right] &= \int dt \int_{V} dV \rho (\bm{y},t) \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},t), \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \right) \\&= \int dt \int_{V} dV \rho (\bm{y},t) \left[ \frac{1}{2} \left[ \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \right]^{2} +\frac{1}{\rho(\bm{y},t)}\frac{\partial \mathrm{P}(\bm{y},t)}{\partial \bm{y}} \cdot \bm{x}(\bm{y},t) - \tilde{U}(\bm{x}(\bm{y},t)) \right] \tag{4.1}

ここで, \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}} は成分で書くと以下になります.

\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}} =  \begin{bmatrix}      \frac{\partial \mathrm{P} _{11}}{\partial y_{1}} + \frac{\partial \mathrm{P} _{12}}{\partial y_{2}} + \frac{\partial \mathrm{P} _{13}}{\partial y_{3}} \\       \frac{\partial \mathrm{P} _{21}}{\partial y_{1}} + \frac{\partial \mathrm{P} _{22}}{\partial y_{2}} + \frac{\partial \mathrm{P} _{23}}{\partial y_{3}} \\      \frac{\partial \mathrm{P} _{31}}{\partial y_{1}} + \frac{\partial \mathrm{P} _{32}}{\partial y_{2}} + \frac{\partial \mathrm{P} _{33}}{\partial y_{3}}    \end{bmatrix} \tag{4.2}

ラグランジアン密度 \tilde{\mathcal{L}} を書きだすと,

\tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},t),\frac{D\bm{x}(\bm{y} ,t)}{Dt} \right) \equiv \frac{1}{2} \left[ \frac{ D \bm{x} ( \bm{y},t)}{Dt} \right] ^{2} + \frac{1}{\rho (\bm{y},t)} \frac{\partial \mathrm{P}(\bm{y},t)}{\partial \bm{y}} \cdot \bm{x}(\bm{y},t) - \tilde{U} ( \bm{x}(\bm{y} ,t)) \tag{4.3}

です.

さて, ここで, 上記の作用(4.1)あるいはラグランジアン密度(4.3)で, 変数 \bm{y} がなくなる(つまり流体要素の広がりがなくなる)と, 位置関数が位置ベクトルになると共に \frac{D}{Dt}\frac{d}{dt} になり, 応力はそもそもないのでゼロになると考えれば, 質点の場合の作用(2.1.1)あるいはラグランジアン密度(2.1.2)に対応するようになります. このため, 質点の場合を包含するためには, 流体要素を質点にシュリンクさせたときに応力を含む項が位置ベクトルの関数として残ってはならないので, 応力は陽に位置関数の関数であることはできず, (\bm{y},t) の関数であるとすることが重要な意味を持ちます.

4.2 最小作用の原理

\bm{x} による変分を行い, 部分積分を行い, 全微分の項を境界条件により除いて整理すると,
\delta S \left[ \bm{x} \right] &= \int dt \left[ -\int_{V} dV \rho(\bm{y},t)\frac{D^{2}\bm{x}(\bm{y},t)}{Dt^{2}} + \int_{V} dV \frac{\partial \mathrm{P}(\bm{y},t)}{\partial \bm{y}}+ \int_{V} dV \rho(\bm{y},t)\tilde{F}(\bm{x}(\bm{y},t)) \right] \cdot \delta \bm{x}(\bm{y},t) \\ &= \int dt \left[ -\int_{V} dV \rho(\bm{y},t)\frac{D^{2}\bm{x}(\bm{y},t)}{Dt^{2}} + \oint_{S=\partial V} dS \bm{n} \mathrm{P}(\bm{y},t) + \int_{V} dV \rho(\bm{y},t)\tilde{F}(\bm{x}(\bm{y},t)) \right] \cdot \delta \bm{x}(\bm{y},t) \tag{4.2}

となります. ここで, ガウスの定理 \int_{V} dV \frac{\partial \mathrm{P}}{\partial \bm{y}} = \oint_{S=\partial V} dS \bm{n} \mathrm{P} および \tilde{\bm{F}}(\bm{x}(\bm{y},t))\equiv -\frac{\partial \tilde{U} (\bm{x}(\bm{y},t))}{\partial \bm{x}(\bm{y},t)} であることを用いました. こうして, 最小作用の原理からコーシーの運動量方程式が得られます.

5.最終結果には位置関数は陽には登場しなくてもよい

コーシー運動量方程式は, 式(1.2)という形以外に, 式(4.2)でガウスの定理を使う前の式から, \nabla \equiv \frac{\partial}{\partial \bm{y}} を用いると,

\rho \frac{ D \bm{u}}{Dt} = \nabla \mathrm{P}+ \rho \tilde{\bm{F}} \tag{5.1}

という形でも表せます. いずれにしても, \tilde{F}(\bm{x}(\bm{y},t)) を 単に \tilde{F}(\bm{y},t) と捉えれば, 導出結果には位置関数は陽には現れなくてよいことになります. 従来, 位置関数という発想が登場しなかったのは, コーシーの運動量方程式から出発して議論してきており, 位置関数は陽に現れなくて済んでいたからだったのかもしれません. しかし, たとえば流体力学をハミルトン形式で記述する場合には本質的に位置関数が必要になります.

6.流体力学をハミルトン形式の力学で記述した場合

位置関数 \bm{x}(\bm{y},t) を正準変数にとり, 正準運動量 \bm{\pi}(\bm{y},t) を以下で定義します.

\bm{\pi}(\bm{y},t) &\equiv \frac{ \partial \tilde{ \mathcal{L}} \left( \bm{x} (\bm{y},t), \frac{D \bm{x} (\bm{y},t)}{Dt} \right) }{\partial \left( \frac{D \bm{x} (\bm{y},t)}{Dt} \right)} \\&= \frac{D \bm{x} (\bm{y},t)}{Dt} \tag{6.1}

するとハミルトニアン密度は,

\tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\bm{y},t)) &\equiv \left[ \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \right] \cdot \bm{\pi}(\bm{y},t) - \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},t), \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \right]^{2} -\frac{1}{\rho(\bm{y},t)}\frac{\partial \mathrm{P}(\bm{y},t)}{\partial \bm{y}} \cdot \bm{x}(\bm{y},t) +\tilde{U}(\bm{x}(\bm{y},t)) \tag{6.2}

となり, 次のハミルトン方程式(Hamilton's equations)が成り立つことが容易に確認できます.

\frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} &= \frac{\partial \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\bm{y},t))}{\partial \bm{\pi}(\bm{y},t)}  \tag{6.3}\\ \frac{D \bm{\pi}(\bm{y},t)}{Dt}&= -\frac{\partial \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\bm{y},t))}{\partial \bm{x}(\bm{y},t)}  \tag{6.4}\\ \frac{D \tilde{\mathcal{H}}(\bm{\pi}(\bm{y},t), \bm{x}(\bm{y},t))}{Dt}&= -\frac{D \tilde{\mathcal{L}} \left( \bm{x}(\bm{y},t), \frac{D \bm{x}(\bm{y},t)}{Dt} \right)}{Dt}  \tag{6.5}

7.ナヴィエ・ストークス方程式との関係 構成方程式との独立性

等方的なニュートン流体の場合, 応力は次の形になります.

\mathrm{P}_{ij} = -p \delta_{ij} + \lambda \delta_{ij} \frac{ \partial u_{k}}{\partial y_{k}} + \mu \left( \frac{\partial u_{i}}{\partial y_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial y_{i}} \right) \tag{7.4}

ここで, \delta_{ij} , p , \mu , \lambda はそれぞれクロネッカーのデルタ, 圧力, 粘性率, 第2粘性率です.

式(7.4)をコーシーの運動量方程式(5.1)に代入すると, 以下のナヴィエ・ストークス方程式(Navier-Stokes Equation)が得られます.

\rho \frac{D \bm{u}}{Dt} = -\nabla p + (\lambda + \mu ) \nabla (\nabla \cdot \bm{u}) + \mu \nabla ^{2} \bm{u} +\rho \tilde{\bm{F}} \tag{7.5}

式(7.4)のように応力の具体的な形を与える式を構成方程式(Constitution Equation)と呼びますが, 上述のように, 応力は陽に位置関数の関数ではないため(等方的なニュートン流体の応力(7.4)も位置関数を陽には含んでいません.), 構成方程式は最小作用の原理によるコーシーの運動量方程式の導出過程には影響せず, 最小作用の原理とは独立になっています.

8.おわりに

本記事の内容は筆者のオリジナルであり, 世の中に広まっているものではありません. 読者諸賢に発展していただけることを願っています. なお, やや詳しく記載した英文メモ(Principle of Least Action in Fluid Mechanics)が こちら にあります.