ミンコフスキー空間上の微分形式

この記事では,相対性理論などに使われるミンコフスキー空間という空間上での微分形式を考えてみます.立派な名前がついていますが,どんな空間なのかと言えば,四次元空間です.特徴として,座標基底の中に 計量が負になるものが一つ あります.このような場合, ホッジ作用素 の取り方に注意が必要でした.( ホッジ作用素p-ベクトルの内積 の記事中にもミンコフスキー空間に関する注意を書いていますので,参照下さい.)もう一度,ホッジ作用素の定義を思い出しましょう. R^{n} 上の p 次微分形式の基底を \sigma ^{H} とすると, *\sigma ^{H}\land ^{n-p}R^{n} の基底 \sigma ^{K} となります.

\sigma ^{H} = (\sigma ^{K},\sigma^{K})\sigma ^{K}      \tag{1}

ただし, \sigma ^{H} \land \sigma ^{K} は,ボリュームフォームの基底の偶順列だとします.(これらは全て既習の内容なので,少し説明を端折っています.訳が分からないという人は, ホッジ作用素 の内容をもう一度よく復習して下さい.)式 (1) で問題なのは,右辺の (\sigma ^{K},\sigma^{K}) という内積です.ミンコフスキー空間の正規直交基底を \{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} , \bm{e_{t}} \} とすると,最初の三つは,普通のユークリッド空間でお馴染みの基底ですが,四番目の \bm{e_{t}} が例の,計量が負になる基底になります.基底の内積は次のようになります.

\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}} = \delta _{ij}  \ \ (i,j=1,2,3)    \tag{1-1}
\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{t}} = 0  \ \ (i=1,2,3) \tag{1-2}
\bm{e_{t}} \cdot \bm{e_{t}} =-1        \tag{1-3}

(1-1)(1-2) は正規直交基底の定義として,よく知っているものです.式 (1-3) が特徴的ですね.このような計量を ローレンツ計量 と呼びます.このため,例えば \sigma ^{K}= \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} の場合と, \sigma ^{K}= \bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}} の場合では,内積 (\sigma ^{K},\sigma^{K}) が異なってきます. p-ベクトルの内積 に従って,計算してみましょう.

(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}) &=    \left|     \begin{array}{cc}\bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} \\\bm{e_{2}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{2}}\cdot \bm{e_{2}} \\     \end{array}   \right| \\& =    \left|     \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \\     \end{array}   \right| \\& = 1     \tag{2-1}
(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}}) &=    \left|     \begin{array}{cc}\bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{t}} \\\bm{e_{t}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{t}}\cdot \bm{e_{t}} \\     \end{array}   \right| \\& =    \left|     \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \\     \end{array}   \right| \\& = -1   \tag{2-2}

どうやら, \bm{e_{t}} が混ざっていると -1 になるようです.以上の議論を念頭に置きつつ,次のセクションではミンコフスキー空間上の微分形式を考えてみます. 四次元の微分形式 とも,後で比べてみて下さい.

ミンコフスキー空間上の微分形式

一次微分形式の基底を (dx,dy,dz,cdt) とします. dt の前についている c が妙ですが,これは単なる定数です.気にしないで下さい(・ω・).空間の向きを dxdydzcdt という順列に決めましょう.このとき,ホッジ作用素の写像の仕方に注意が必要です.前セクションの議論により, cdt が右辺に出て来る写像には, (-1) が掛かってきます.

*(dx \land dy \land dz) = -cdt        \tag{3-1}
*(dy \land dz \land cdt) = dx \tag{3-2}
*(dz \land cdt \land dx) = dy  \tag{3-3}
*(cdt \land dx \land dy) = dz \tag{3-4}

さらに,二次微分形式の基底のホッジ作用素も考えてみましょう.できれば,式 (1) の定義通りに計算して,これらの関係を一度自分で確認してみて下さい.

*(dx \land dy) = -dz \land cdt                \tag{4-1}
*(dy \land dz ) =  - dx \land dct     \tag{4-2}
*(dz \land dx ) =  - dy \land dct     \tag{4-3}
*(dx \land cdt ) =  dy \land dz       \tag{4-4}
*(dy \land cdt )  =  dz \land dx      \tag{4-5}
*(dz \land cdt )  =  dx \land dy      \tag{4-6}

ここで,式 (3)(4) で用いた基底の並びは,全て (dx \ dy \ dz \ cdt) という順列の偶順列になっていますので,右辺に出てきたマイナスは,ひとえに cdt 軸の計量が負であるという事情だけによるものです. (i \ j \ k)(1 \ 2 \ 3) の偶順列とし, x,y,zx^{1},y^{2},z^{3} と表現することにすれば,式 (3)(4) をまとめて次のように略記することも出来ます.

*(dx^{i} \land cdt )  =  dx^{j} \land dx^{k}  \tag{5-1}
*(dx^{j} \land dx^{k} )  = - dx^{i} \land cdt         \tag{5-2}

ミンコフスキー空間上の微分形式などという変チクリンなものを考えた理由は,電磁気学の基礎方程式とも言えるマックスウェルの方程式を,微分形式を使って美しく記述したいという動機によるものです.本当に美しく簡単な形にまとまりますので,純粋に美学的・審美的観点からもぜひ眺めてみて欲しいものですし,そのあまりにも単純な形から,(特に幾何学的な考察によって)電磁気学をより深く理解する一助ともなることでしょう.ミンコフスキー空間上の微分形式によるマックスウェル方程式の定式化は, の記事で考えます.

ミンコフスキー

ミンコフスキー空間にその名を残すミンコフスキー( \text{Hermann Minkowski (1864-1909)} )は,現在のリトアニア(当時はロシア帝国領)に生まれました.両親はドイツ人で,一家もその後ドイツのケーニヒスベルグ(現在はロシアの飛び地)に引っ越していますので,ミンコフスキーはドイツ人だと考えた方が良さそうです.ミンコフスキーはケーニヒスベルグ大学へ進みますが,数学の才能は抜きん出ていたようです.ヒルベルト( \text{David Hilbert (1862-1943)} )は大学の級友で,また新任教官にはフルヴィッツ( \text{Adolf Hurwitz (1859-1919)} )がおり,彼等とは親友とも言える間柄でした.

Joh-Minkowski.png

アインシュタインが数学の重要性に目覚めたのは,ミンコフスキーのお陰だ.

後年,ミンコフスキーはボン,ケーニヒスベルグなどで職を得ますが,チューリッヒの Eidgen\ddot{o} ssische \ Polytechnikum \ Z\ddot{u}rich で教鞭を取っていたときの学生にアインシュタイン( \text{Albert Einstein (1879-1955)} )がいます.最後はヒルベルトの招きに応じてゲッチンゲン大学に落ち着き,数学の研究に没頭します.ミンコフスキーの功績で何よりも有名なものは,ローレンツ( \text{Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)} )とアインシュタインによる相対性理論を見事に記述する,ミンコフスキー空間という概念を数学的に洗練したことでしょう.ただし,ミンコフスキー自身の興味は純数学的内容に向いており,二次形式や連分数法の研究に時間をかけています.また,「数の幾何学」という分野はミンコフスキーによって創始された,幾何学と整数論が合わさったような分野で,ミンコフスキーの凸型定理という定理は有名です.