ミンコフスキー空間上の微分形式

この記事では，相対性理論などに使われるミンコフスキー空間という空間上での微分形式を考えてみます．立派な名前がついていますが，どんな空間なのかと言えば，四次元空間です．特徴として，座標基底の中に 計量が負になるものが一つ あります．このような場合，ホッジ作用素の取り方に注意が必要でした．（ホッジ作用素や p-ベクトルの内積の記事中にもミンコフスキー空間に関する注意を書いていますので，参照下さい．）もう一度，ホッジ作用素の定義を思い出しましょう． $R^{n}$ 上の次微分形式の基底を $\sigma ^{H}$ とすると， $*\sigma ^{H}$ は $\land ^{n-p}R^{n}$ の基底 $\sigma ^{K}$ となります．

$\sigma ^{H} = (\sigma ^{K},\sigma^{K})\sigma ^{K} \tag{1}$

ただし， $\sigma ^{H} \land \sigma ^{K}$ は，ボリュームフォームの基底の偶順列だとします．（これらは全て既習の内容なので，少し説明を端折っています．訳が分からないという人は，ホッジ作用素の内容をもう一度よく復習して下さい．）式 (1) で問題なのは，右辺の $(\sigma ^{K},\sigma^{K})$ という内積です．ミンコフスキー空間の正規直交基底を $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} , \bm{e_{t}} \}$ とすると，最初の三つは，普通のユークリッド空間でお馴染みの基底ですが，四番目の $\bm{e_{t}}$ が例の，計量が負になる基底になります．基底の内積は次のようになります．

$\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{j}} = \delta _{ij} \ \ (i,j=1,2,3) \tag{1-1}$ $\bm{e_{i}} \cdot \bm{e_{t}} = 0 \ \ (i=1,2,3) \tag{1-2}$ $\bm{e_{t}} \cdot \bm{e_{t}} =-1 \tag{1-3}$

式 (1-1)(1-2) は正規直交基底の定義として，よく知っているものです．式 (1-3) が特徴的ですね．このような計量を ローレンツ計量 と呼びます．このため，例えば $\sigma ^{K}= \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}$ の場合と， $\sigma ^{K}= \bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}}$ の場合では，内積 $(\sigma ^{K},\sigma^{K})$ が異なってきます． p-ベクトルの内積に従って，計算してみましょう．

$(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}) &= \left| \begin{array}{cc}\bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{2}} \\\bm{e_{2}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{2}}\cdot \bm{e_{2}} \\ \end{array} \right| \\& = \left| \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{array} \right| \\& = 1 \tag{2-1}$ $(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{t}}) &= \left| \begin{array}{cc}\bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{1}}\cdot \bm{e_{t}} \\\bm{e_{t}}\cdot \bm{e_{1}} & \bm{e_{t}}\cdot \bm{e_{t}} \\ \end{array} \right| \\& = \left| \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & -1 \\ \end{array} \right| \\& = -1 \tag{2-2}$

どうやら， $\bm{e_{t}}$ が混ざっているとになるようです．以上の議論を念頭に置きつつ，次のセクションではミンコフスキー空間上の微分形式を考えてみます．四次元の微分形式とも，後で比べてみて下さい．

ミンコフスキー空間上の微分形式

一次微分形式の基底を (dx,dy,dz,cdt) とします．の前についているが妙ですが，これは単なる定数です．気にしないで下さい(・ω・)．空間の向きを dxdydzcdt という順列に決めましょう．このとき，ホッジ作用素の写像の仕方に注意が必要です．前セクションの議論により， cdt が右辺に出て来る写像には， (-1) が掛かってきます．

$*(dx \land dy \land dz) = -cdt \tag{3-1}$ $*(dy \land dz \land cdt) = dx \tag{3-2}$ $*(dz \land cdt \land dx) = dy \tag{3-3}$ $*(cdt \land dx \land dy) = dz \tag{3-4}$

さらに，二次微分形式の基底のホッジ作用素も考えてみましょう．できれば，式 (1) の定義通りに計算して，これらの関係を一度自分で確認してみて下さい．

$*(dx \land dy) = -dz \land cdt \tag{4-1}$ $*(dy \land dz ) = - dx \land dct \tag{4-2}$ $*(dz \land dx ) = - dy \land dct \tag{4-3}$ $*(dx \land cdt ) = dy \land dz \tag{4-4}$ $*(dy \land cdt ) = dz \land dx \tag{4-5}$ $*(dz \land cdt ) = dx \land dy \tag{4-6}$

ここで，式 (3)(4) で用いた基底の並びは，全て $(dx \ dy \ dz \ cdt)$ という順列の偶順列になっていますので，右辺に出てきたマイナスは，ひとえに cdt 軸の計量が負であるという事情だけによるものです． $(i \ j \ k)$ を $(1 \ 2 \ 3)$ の偶順列とし， x,y,z を $x^{1},y^{2},z^{3}$ と表現することにすれば，式 (3)(4) をまとめて次のように略記することも出来ます．

$*(dx^{i} \land cdt ) = dx^{j} \land dx^{k} \tag{5-1}$ $*(dx^{j} \land dx^{k} ) = - dx^{i} \land cdt \tag{5-2}$

ミンコフスキー空間上の微分形式などという変チクリンなものを考えた理由は，電磁気学の基礎方程式とも言えるマックスウェルの方程式を，微分形式を使って美しく記述したいという動機によるものです．本当に美しく簡単な形にまとまりますので，純粋に美学的・審美的観点からもぜひ眺めてみて欲しいものですし，そのあまりにも単純な形から，（特に幾何学的な考察によって）電磁気学をより深く理解する一助ともなることでしょう．ミンコフスキー空間上の微分形式によるマックスウェル方程式の定式化は，次の記事で考えます．

ミンコフスキー

ミンコフスキー空間にその名を残すミンコフスキー( $\text{Hermann Minkowski (1864-1909)}$ )は，現在のリトアニア（当時はロシア帝国領）に生まれました．両親はドイツ人で，一家もその後ドイツのケーニヒスベルグ（現在はロシアの飛び地）に引っ越していますので，ミンコフスキーはドイツ人だと考えた方が良さそうです．ミンコフスキーはケーニヒスベルグ大学へ進みますが，数学の才能は抜きん出ていたようです．ヒルベルト( $\text{David Hilbert (1862-1943)}$ )は大学の級友で，また新任教官にはフルヴィッツ( $\text{Adolf Hurwitz (1859-1919)}$ )がおり，彼等とは親友とも言える間柄でした．

アインシュタインが数学の重要性に目覚めたのは，ミンコフスキーのお陰だ．

後年，ミンコフスキーはボン，ケーニヒスベルグなどで職を得ますが，チューリッヒの $Eidgen\ddot{o} ssische \ Polytechnikum \ Z\ddot{u}rich$ で教鞭を取っていたときの学生にアインシュタイン( $\text{Albert Einstein (1879-1955)}$ )がいます．最後はヒルベルトの招きに応じてゲッチンゲン大学に落ち着き，数学の研究に没頭します．ミンコフスキーの功績で何よりも有名なものは，ローレンツ( $\text{Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)}$ )とアインシュタインによる相対性理論を見事に記述する，ミンコフスキー空間という概念を数学的に洗練したことでしょう．ただし，ミンコフスキー自身の興味は純数学的内容に向いており，二次形式や連分数法の研究に時間をかけています．また，「数の幾何学」という分野はミンコフスキーによって創始された，幾何学と整数論が合わさったような分野で，ミンコフスキーの凸型定理という定理は有名です．

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