SU(2)のリー群とリー環について

この記事ではパウリ行列

\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{1} \\\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \tag{2} \\\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{3}

とリー群 SU(2) ，リー環 \mathfrak{su}(2) の関係についてまとめます． 記号は パウリ行列のwikipedia に合わせます．

リー環について

リー環 \mathfrak{su}(2) はリー群のパラメータの無限小変化量に当たります． （後で示すので，まだわからなくて大丈夫です．） これが，パウリ行列を使うとうまく表せます．

今回はパウリ行列をそのまま使わないで，ちょっと小細工をして， 全てに \dfrac{1}{2i} を掛けます．

すると，

X_1 = \dfrac{1}{2i} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2i} \\ \dfrac{1}{2i} & 0 \end{pmatrix} \tag{4} \\X_2 = \dfrac{1}{2i} \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \tag{5} \\X_3 = \dfrac{1}{2i} \sigma_3 &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2i} & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{2i} \end{pmatrix} \tag{6}

となります．これらがリー環 \mathfrak{su}(2) の全ての基底 です． \dfrac{1}{2i} を掛けると何がうれしいかというと，交換子 [A,B]=AB-BA について，

[X_1,X_2] =X_3 \tag{7} \\[X_2,X_3] =X_1 \tag{8} \\[X_3,X_1] =X_2 \tag{9}

ときれいな関係になります．だから何？と言われそうですが，この辺のことに関しては EMANさんの解説 を見るといいんじゃないでしょうか？

特殊ユニタリー群 SU(n) に対応するリー環 \mathfrak{su}(n) の元 X は一般に

\mathrm{Tr}(X) = 0 \tag{10} \\X^\dagger = -X \tag{11}

を満たします．上付きの \dagger は物理よりの書き方で，複素共役を取って転置したものを 表します． X_1,X_2,X_3 がこれらの関係を満たすことを確認してみてください． この性質(式(10)と式(11))を言葉でいうと，トレースがゼロの歪エルミート行列と言います．

リー群について

リー群の元 g とはリー環の元 X_i の線形結合の指数関数を取ったものです． 行列(例えば A とする)の指数関数ということで， I を単位行列として，

\exp A = I + \dfrac{A}{1!} + \dfrac{A^2}{2!} + \dfrac{A^3}{3!} + \dfrac{A^4}{4!} + \cdots \tag{12}

となります．ここで x_1 = x, x_2 = y, x_3 = z, r = \sqrt{x^2_1 + x^2_2 + x^2_3} として，

X &= \sum_{i=1}^3 x_i X_i \\&= \dfrac{1}{2i} \sum_{i=1}^3 x_i \sigma_i \\&= \dfrac{1}{2i}\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix} \\&\equiv \dfrac{1}{2i} \Psi \tag{13}

ここで( \equiv )は \Psi の定義を示すものと します． \Psi^2 = r^2 I です．

ここで，リー環の指数関数を取ってリー群の元 g を求めてみましょう．

g &= \exp \left( \dfrac{1}{2i} \Psi \right) \\&= I + \dfrac{1}{1!}(\dfrac{1}{2i}) \Psi + \dfrac{1}{2!}(\dfrac{1}{2i})^2 \Psi^2 + \dfrac{1}{3!}(\dfrac{1}{2i})^3 \Psi^3 + \cdots \\&= \left( I - \dfrac{1}{2!}(\dfrac{r}{2})^2 I + \dfrac{1}{4!}(\dfrac{r}{2})^4 I \cdots \right) \\&+ \dfrac{1}{2i} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2})^2\Psi + \dfrac{1}{5!}(\dfrac{r}{2})^4\Psi - \cdots \right) \\&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{2i} \dfrac{2}{r} \left( \Psi - \dfrac{1}{3!}(\dfrac{r}{2})^3\Psi + \dfrac{1}{5!}(\dfrac{r}{2})^5\Psi - \cdots \right) \\&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) + \dfrac{1}{ir} \sin \left( \dfrac{r}{2} \right) \Psi \\&= \cos \left( \dfrac{r}{2} \right) - \dfrac{i}{r} \sin \left( \dfrac{r}{2} \right) \Psi \tag{14}

よって， g の成分表示をすると，

g = \begin{pmatrix} \cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z & -(i/r)\sin(r/2)(x-iy) \\ -(i/r)\sin(r/2)(x+iy) & \cos(r/2) +(i/r)\sin(r/2)z \end{pmatrix} \tag{15}

ここで， i 以外は実数ですから， \alpha = \cos(r/2) -(i/r)\sin(r/2)z ， \beta = -(i/r)\sin(r/2)(x+iy) と置くと，

g = \begin{pmatrix}\alpha & -\beta^\ast \\\beta & \alpha^\ast \end{pmatrix} \tag{16}

ここで \ast は複素共役です．

SU(2)の定義

一方で， SU(2) の定義として，

X^\dagger X &= I \tag{17} \\\mathrm{det} X &= 1 \tag{18}

となります．この定義に従った元が式(16)と一致することを見ましょう． 式(17)から，

X^\dagger X &= \begin{pmatrix} \alpha^\ast & \beta^\ast \\ \gamma^\ast & \delta^\ast\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} |\alpha|^2 + |\beta|^2 & \alpha^\ast \gamma + \beta^\ast \delta \\ \alpha \gamma^\ast + \beta \delta^\ast & |\gamma|^2 + |\delta|^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \tag{19}

また，式(18)から，

\mathrm{det} X &= \alpha \delta - \beta \gamma \\&=1 \tag{20}

よって，式(19)と(20)より，

\alpha \delta - \beta \gamma &= 1 \tag{21} \\\alpha^\ast \gamma + \beta^\ast \delta &= 0 \tag{22}

この連立方程式を行列で書くと，

\begin{pmatrix} -\beta & \alpha \\ \alpha^\ast & \beta^\ast\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \gamma \\ \delta\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} \tag{23}

ここで式 |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 を使って ， \gamma,\delta について解くと，

\begin{pmatrix} \gamma \\ \delta\end{pmatrix}&=\dfrac{1}{|\alpha|^2 + |\beta|^2}\begin{pmatrix} -\beta^\ast & \alpha \\ \alpha^\ast & \beta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -\beta^\ast \\ \alpha^\ast\end{pmatrix} \tag{24}

よって，

g &=\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha & -\beta^\ast \\ \beta & \alpha^\ast\end{pmatrix} \tag{25}

となり，式(16)に一致することがわかりました．

さて，僕がこの記事を書く切っ掛けを話しておきます． 式(25)について，今までの変数の設定をリセット して， \alpha = w+iz,\beta = i(x+iy) とします． すると，式(25)は

g = \begin{pmatrix} w+iz & i(x-iy) \\i(x+iy)& w-iz\end{pmatrix} \tag{26}

この形はリー環と似ています．

g = w\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} +ix\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+iy\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix}+iz\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \tag{27}

なんだ？パウリ行列に i が掛かっている？ 単位行列も加わっているぞ？なんて，混乱されないでください． あくまでこれがリー群 SU(2) の元の一般形であって， パウリ行列 \sigma_i とより強く関係しているのは，リー環 \mathfrak{su}(2) の方 です．まあ， X_i にした時に -i/2 を掛けていますけれどね． ややこしいですけれど，リー環では単位行列は含まないのは決定的な違いです． また，式(25)について |\alpha|^2+|\beta|^2=1 は注意です．

リー環トレースゼロの反エルミート行列 X に対応する のは，リー群デターミナント１のユニタリー行列 g って訳ですね．

最後に

ちょっと話が変わりますが，自分が確かなイメージを持っている例で， リー群の無限小変化がリー環になる．と言うことを説明します． リー環 H として，リー群の元 g = \exp (-iHt) を対応 させます． H とした理由は量子論のハミルトニアンを意識しています． ここで g から H を求めるには， \left. \dfrac{dg}{dt} \right|_{t=0} = -iH として求まるわけ です． \exp (-iHt) = I -i \dfrac{1}{1!}Ht - \dfrac{1}{2!}H^2t^2 + i \dfrac{1}{3!}H^3t^3 + \cdots ですから， テイラー展開の1次の項を求めているわけです． つまり，リー群のパラメータ t の微小変化の接線（1次変化）の変化方向をリー環と呼んでいるわけです．

それでは今日はここまで，お疲れさまでした！