とある外微分の公式

この記事では,参考文献『理論物理学のための幾何学とトポロジーI』にある有用な公式について説明します. 短い記事です.

公式

公式とは, X=X^\mu \dfrac{\partial}{\partial x^\mu},Y=Y^\nu \dfrac{\partial}{\partial x^\nu} をベクトル場とし,一形式 \omega=\omega_\mu dx^\mu とします.

d \omega(X,Y) = X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y]) \tag{1}

というものです.参考文献には d \omega([X,Y]) とありますが,これは誤植です.

さらに勘違いしやすい点として,スカラー f に対して, X[f] = X^\mu(\partial_\mu f) という, X[f] はベクトルのスカラー倍ではなく,スカラーを表しています.

公式の証明

まず,与式の左辺は,

d \omega(X,Y) &= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu \wedge dx^\mu \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda}, Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^\nu \otimes dx^\mu - dx^\mu \otimes dx^\nu \right) \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda}, Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^\nu \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda} \right) \otimes dx^\mu \left( Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right)  - dx^\mu \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda} \right) \otimes dx^\nu \left( Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\lambda \delta^\nu_\lambda Y^\kappa \delta^\mu_\kappa - X^\lambda \delta^\mu_\lambda Y^\kappa \delta^\nu_\kappa \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\nu Y^\mu - X^\mu Y^\nu \right)\tag{2}

となります.

また,与式の右辺は,

X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y]) &= X^\nu \partial_\nu(\omega_\mu Y^\mu) - Y^\nu \partial_\nu(\omega_\mu X^\mu) - \omega_\lambda dx^\lambda \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \partial_\nu X^\mu \right) \dfrac{\partial}{\partial x^\mu} \\&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\mu (\partial_\nu Y^\mu) - Y^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) X^\mu - Y^\nu \omega_\mu(\partial_\nu X^\mu) - \omega_\lambda \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \partial_\nu X^\mu \right) \delta_\mu^\lambda \\&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\mu (\partial_\nu Y^\mu)  - Y^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) X^\mu - Y^\nu \omega_\mu(\partial_\nu X^\mu) - \omega_\mu \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \partial_\nu X^\mu \right) \\&= X^\nu \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} Y^\mu  - Y^\nu \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} X^\mu \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\nu Y^\mu - X^\mu Y^\nu \right)\tag{3}

よって,両辺は一致しました.これで式 (1) が示せました. 今日はここまで,お疲れさまでした.