リー環の随伴表現とは

リー環とは

リー環，もしくは，同じものですがリー代数 X_a において，交換子から定まる構造定数 f_{ab}^{ \ \ c} を 次の様に定めます．

[X_a,X_b] = i f_{ab}^{ \ \ c} X_c \tag{1}

ここで， i は虚数単位で，交換子は [X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a を表します． また，アインシュタインの縮約規則を用いて， c は全ての元にわたる和です．

リー環というと，特定の代数演算の関係が決められた抽象的な 代数ですが，それと同じ関係を満たす行列で具体的に表すことができます． その代数の行列化をリー環の「表現」と言います． 表現にはいろいろな種類がありますが，その中で今回は随伴表現 \rho(X_a)_b^{ \ \ c} = -i f_{ab}^{ \ \ c} というものを紹介します． ここで， \rho(X_a) は表現（行列）で \rho(X_a)_b^{ \ \ c} は行列の成分で b は行列の行， c は行列の列を指定します． 不思議な事にこれは元のリー環の一つの表現になっているのです．

ヤコビ積

リー環には，交換子からなるヤコビ恒等式があります． それは，

Z = [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] = 0 \tag{2}

という任意のリー環に対して恒等的に成り立つ関係式です． ただし，右辺の 0 はリー環のゼロ元です． この関係は，実際に行列を持ち出すことなく， 代数的に展開してやれば，確認できます．

さて，式 (2) を式 (1) の関係を用いて， 変形していきましょう．

[X_a,[X_b,X_c]] &= [X_a,i f_{bc}^{ \ \ d} X_d] \\&= i f_{bc}^{ \ \ d} [X_a,X_d] \\&= i^2 f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e \\&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e\tag{3}

の様に計算していくと，ヤコビ恒等式は，

Z = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} X_e - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e} X_e\tag{4}

ここで，任意の e に対して，上式は成立するので， X_e を除いて，

Z^\prime = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e}\tag{5}

随伴表現

さて，随伴表現との対応を見てみましょう．

\rho(X_a)_b^{ \ c} = - i f_{ab}^{ \ \ c}\tag{6}

の様に決めると，式 (5) は，

Z^\prime &= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e} \\&= (-i f_{bc}^{ \ \ d})(-i f_{ad}^{ \ \ e}) + (-i f_{ab}^{ \ \ d})(-i f_{cd}^{ \ \ e}) + (-i f_{ca}^{ \ \ d})(-i f_{bd}^{ \ \ e}) \\&= \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_c)_d^{ \ e} + \rho(X_c)_a^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\\tag{7}

ここで全体の符号を反転させて， f_{ab}^{ \ \ c} = -f_{ba}^{ \ \ c} の関係を使うと（これは構造定数が交換子から作られていて， [X_a,X_b] = - [X_b,X_a] であることから出ます．）， \rho(X_a)_b^{ \ c} = -i f_{ab}^{ \ \ c} より \rho(X_a)_b^{ \ c} = - \rho(X_b)_a^{ \ c} が言えるので，

-Z^\prime &= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} - \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_c)_d^{ \ e} - \rho(X_c)_a^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} + \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\&= \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\&= \rho(X_a X_b)_c^{ \ e} - \rho(X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\&= \rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\&= 0\tag{8}

となり，よって，

\rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} = i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\\tag{9}

ですから，これは，リー環が満たす代数関係

[X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a = i f_{ab}^{ \ \ d} X_d\tag{10}

に対応しています．（単連結な）リー代数の構造は構造定数によって， 完全に決定されます．よって， \rho(X_a) はリー環の表現だと分かります．

具体例(su(2)とso(3))

最後に具体例として，同じ構造定数を持つ \mathfrak{su}(2) と \mathfrak{so}(3) の随伴表現を 見て終わりにします．その構造定数は例えば，パウリ行列 \sigma_a が

\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tag{11}

で，

X_1 &= (1/2)\sigma_1 \\X_2 &= (1/2)\sigma_2 \\X_3 &= (1/2)\sigma_3\tag{12}

とすれば，

[X_1,X_2] &= i X_3 \\[X_2,X_3] &= i X_1 \\[X_3,X_1] &= i X_2 \tag{13}

より，ゼロにならないのは，

f_{12}^{ \ \ 3} &= f_{23}^{ \ \ 1} = f_{31}^{ \ \ 2} = 1 \\f_{13}^{ \ \ 2} &= f_{21}^{ \ \ 3} = f_{32}^{ \ \ 1} = -1\tag{14}

と分かるので，随伴表現の行列 J_a は，

J_1 &= \begin{pmatrix} -if_{11}^{ \ \ 1} & -if_{11}^{ \ \ 2} & -if_{11}^{ \ \ 3} \\ -if_{12}^{ \ \ 1} & -if_{12}^{ \ \ 2} & -if_{12}^{ \ \ 3} \\ -if_{13}^{ \ \ 1} & -if_{13}^{ \ \ 2} & -if_{13}^{ \ \ 3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\J_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \\J_3 &= \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

より，随伴表現が表現として成立しているか確かめると， 確かに例えば，

J_1 J_2 - J_2 J_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\&= i J_3\tag{15}

となり，確かに元のリー代数と同じ構造定数を持つ表現になっていることが分かります．