総和の計算

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総和（summation，記号 Σ）の計算は，プログラムで実装するのがとても簡単です． forループで回して足し合わせればよいだけです．

アルゴリズム

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k$

という総和記号があった場合，実際には

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k = 1+2+3+\cdots +n$

と足し算で計算する決まりになっています． Σ の下の記号からはじまって，1ずつ増やしながら上の記号まで足すのです．これがそのままアルゴリズムです．

プログラム例

数学の公式から

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k$	$\displaystyle =\frac{1}{2}n(n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2$	$\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3$	$\displaystyle =\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$

となることが分かっています．数値計算で純粋に足し算計算したものと，この公式で計算したものとを比較してみます． n は変数ですのでこのままでは計算できませんから，ここでは n = 10 の場合を計算しておきます．

解析解

まず，公式を利用した場合ですが，n=10とおくと

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k$	$\displaystyle =\frac{1}{2}10(10+1)=55$	(1)
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^2$	$\displaystyle =\frac{1}{6}10(10+1)(2\times10+1)=385$	(2)
$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^3$	$\displaystyle =\left\{\frac{1}{2}10(10+1)\right\}^2=3025$	(3)

となります．これが解析解です．

数値解

実際にプログラムを書いてみます．赤字が直接アルゴリズムに関係した部分です．

#include <stdio.h>

#define N 10

int func(int n) {
  return n;
}

int main(void) {
  int sum = 0, i;

  for (i=1; i<=N; i++) {
    sum += func(i);
  }
  
  printf("sum = %d\n", sum);

  return 0;
}

これをコンパイルして実行すると

sum = 55

という結果が表示されます．いまのプログラムは，関数 func で n を返すように設定しています．ですからこれは，式 (1) の結果です．式 (2) の計算するには n*n を返すように，式 (3) を計算するには n*n*n を返すようにすればいいです．

いまは整数の計算なのですべて int 型で宣言していますが，一般には整数でないことが多いです．その場合は double 型で宣言しておきます．

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