ハミルトニアンは系全体のエネルギーを表す関数のことです. だから,ハミルトニアンが一定ならエネルギーが保存します. 別にハミルトニアンなんてなくたって, 全エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーを足したものとして 高校物理から出てきていました. しかしハミルトニアンにはちょっとだけ約束があります. それは位置 と運動量 を使うことです.
運動量は とは書かず, と書きます. 例えばポテンシャルエネルギーが ,運動量 ,質量 の物体のハミルトニアンは
となります.
量子力学のハミルトニアンは, を演算子に置き換えます.
これはシュレーディンガー方程式でよく目にします.