ラグランジュの運動方程式

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解析力学には，ラグランジュの運動方程式なるものが登場します．どういうものかというと

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) -\frac{\partial L}{\partial x} = 0$

というものなのですが，これ，いったい何なのでしょうか．実は，最終的にはニュートンの運動方程式と同じものなのです．ここでは，ラグランジュの方程式がニュートンの運動方程式と同等であることを（特殊な場合に限って）簡単に示してみます．

ニュートンの運動方程式

あるポテンシャルから力を受ける2次元 (x, y) 平面での質点を考えます．まず，ニュートンの運動方程式ですが

$m\ddot{x}=F_x, \quad m\ddot{y}=F_y \tag{1}$

という形をしています．ここで

$\ddot{x}$

は，位置を時間で2階微分したもの，すなわち加速度を意味します．また，ドットが一つなら1階微分です．つまり

$\dot{x}=\frac{dx}{dt}, \quad \ddot{x}=\frac{d^2x}{dt^2}$

です．この表記はどんな変数の時間微分も簡潔に書けるため便利で，よく使われます．また，左辺の力ですが，ここではポテンシャルから受ける力を考えているので，ポテンシャルの偏微分

$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}$

で表せます．したがって，ニュートンの運動方程式(1)は

$m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad m\ddot{y} = -\frac{\partial U}{\partial y} \tag{2}$

と書いても同じ事です．これを変形してラグランジュの方程式にもって行くことができれば，とりあえずこの状況でニュートンの運動方程式とラグランジュの方程式が同等であることを示せます．

ラグランジアン

質点の運動エネルギーを，ポテンシャルエネルギーをと書くことにしますと，これらの差 T-U なる量はラグランジアンと呼ばれます．運動エネルギーはおなじみの

$T &= \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2\\ &= \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)$

で表わせます．これは $\dot{x}$ と $\dot{y}$ の関数です．関数の変数がなんであるかをハッキリさせたいときは，

$T = T(\dot{x},\dot{y})$

のように関数名の後に変数を丸括弧で括ってくっつけておきます．ポテンシャルエネルギーの具体的な形は様々ですが，

というふうにとの関数であると表すことができます．したがってラグランジアンは

$L &= T-U\\ &= T(\dot{x},\dot{y}) - U(x,y)\\ &= \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right) - U(x,y)$

です．運動エネルギーは $\dot{x}$ と $\dot{y}$ にのみ依存し，ポテンシャルエネルギーはとにのみ依存している形になっているのがポイントです．このことから，ラグランジアンを $\dot{x}$ , $\dot{y}$ で偏微分したものはを $\dot{x}$ , $\dot{y}$ で偏微分したものに等しくなります．つまり

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} , \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = \frac{\partial T}{\partial \dot{y}} = m\dot{y}$

です．同様に，「ラグランジアンを x, y で偏微分したもの」は「を x,y で偏微分したもの」に等しくなります．

$\frac{\partial L}{\partial x} = -\frac{\partial U}{\partial x} ,\quad \frac{\partial L}{\partial y} = -\frac{\partial U}{\partial y}$

ニュートンの運動方程式とラグランジュの運動方程式

いま示そうとしていることは，ニュートンの運動方程式（再掲）

$m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x} , \quad m\ddot{y} = -\frac{\partial U}{\partial y} \tag{2}$

がラグランジュの方程式と同等であるということです．についての運動方程式

$m\ddot{x} = -\frac{\partial U}{\partial x} \tag{3}$

に着目してみましょう．式(3)の左辺の $m\ddot{x}$ というのは $m\dot{x}$ を時間で1階微分したものです． $m\dot{x}$ はラグランジアンを $\dot{x}$ で偏微分したものでしたから

$m\ddot{x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) \tag{4}$

と表すことができます．式(3)の右辺は，ラグランジアンをで偏微分したものそのものです．

$-\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial x} \tag{5}$

式(4)，(5)を式(3)の運動方程式に代入すると

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = \frac{\partial L}{\partial x}$

移項して

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) -\frac{\partial L}{\partial x} = 0$

となり，の式についても同様ですから，運動方程式は結局

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0 , \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0$

という形に書き直せることになります．これは最初に示したラグランジュの方程式です．

ラグランジュの方程式の利点

以上の例（位置に比例するポテンシャルと，運動エネルギーを考えた例）で，ニュートンの運動方程式とは別にラグランジュの方程式なるものを導入できることを示しました．それらは結局，同等なものになっています（そうじゃなきゃ困ります）．

さて，わざわざ別の基礎方程式を導入したからには，なにか利点があるはずです．それは，加速度を直接方程式に含めなくてよい，という点が大きいと思われます．運動方程式を立てる座標系は，直線座標の場合もあれば，曲線であったり角度を変数としている場合もあります．普通，時間についての2階微分である加速度を，このように様々な変数で表すのは難しい作業です．

ラグランジュの方程式はラグランジアンさえ分かれば立てることができます．そしてラグランジアンに加速度は含まれていません．ラグランジュの方程式はどのような座標系でも同じ形になるところに利点があります．

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