2次方程式の解の公式

2次方程式には「解の公式」なるものが存在します．中学・高校では頻繁に使うのですが，個人的に最近はあまり使わなくなっていました．公式の存在すら忘れてしまい「ん，これはどうやって解くんだ？」，「解の公式？は？」なんてことにならないためにも，そして「公式」に頼りきらないためにも， 2次方程式の解の公式を導出をしてみましょー．さらに学びたい人には，平方完成の図形的イメージという姉妹記事も用意しています．

解の公式

まずは公式そのものの確認です．2次方程式 ax^2+bx+c=0 の解は

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag{1}$

で与えられるという公式，これが「2次方程式の解の公式」です．ほとんどの人が，中学生のとき数学の授業で暗記させられたと思います．みなさんは，まだ覚えていますか？（僕はついこないだまで忘れてました．）

導出

それでは，解の公式を導いてみます．単純に，2次方程式を平方完成して解けば良いです．つぎの2次方程式

を，実際に平方完成して解いて行きましょう（平方完成の手順を忘れてしまった人は，その復習にもなりますよ）．最初に，一番次数の大きい x^2 の係数での項を括ります．いまの場合はで括ることになります．

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c &= 0 \tag{2}$

そして，括ったカッコを2乗（平方）の形にします．ここが平方完成です．

$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2+c &= 0 \tag{3}$

このとき，マイナスの項が出てくる理由はいいですよね（よく分からなければ，実際に式(3)を計算して，式(2)に戻ることを確かめてみてください）．

式(3)の左辺第1項だけを左辺に残し，それ以外は右辺に移項します．

$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= a\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c$

上式の両辺をで割って（ $a \ne 0$ とします），右辺を通分すると

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}\\ &= \frac{b^2}{2^2 a^2}-\frac{c}{a}\\ &= \frac{b^2-4ac}{4a^2}$

となります．ここまでくれば，後は

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \tag{4}$

を変形しての形にしてやれば解の公式のできあがりです．とりあえず，左辺の2乗を外したいですね．

たとえば「 x^2=u 」という式があって， x^2 の二乗を外したい場合は，右辺をルートにすれば良いのでした．しかし $x=\sqrt{u}$ では間違いです．二乗してになる数は $+\sqrt{u}$ と $-\sqrt{u}$ の二つあることに注意してください．したがってこの例では $x=\pm\sqrt{u}$ となります．

これを踏まえて式(4)を変形しますと

$x+\frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

となります．そして左辺第2項を移項して

$x = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$

通分すると

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

のできあがりです．これで，解の公式(1)の導出が完了しました．導出の流れさえ理解しておけば，解の公式を忘れてしまっても， ax^2+bx+c=0 からスタートしていつでも導くことができます．解の公式を導く方法は上の通りでしたが，「平方完成」とはどういう意味があったのでしょう．知りたい方は平方完成の図形的イメージに進んでみてください．

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