対称群

いくつかの記号の列を並べ替えるとき，並べ替える方法には何種類かあります．(記号の個数が有限ならば，可能な並べ替えの種類も有限です．)

例えば，３つの記号 (abc) を並べ替えると， (acb),(bac),(bca),(cab),(cba) という並びが可能です．もとの (abc) と併せて，全部で6種類の並び方が可能だと言うことです．

このような，『並べ替えという演算操作そのもの』を元として集合をつくると，これは群になります．これを 対称群 と呼びます．

[*]京都に大将軍(たいしょうぐん)という地名があります．美味しいお豆腐屋さんがたくさんあることで有名です．
[†]対称群のことを置換群とも呼ぶこともあります．全く同じ意味だ，と言い切っている教科書もあれば，対称群の部分群のことを置換群と呼ぶ，と書いているものもあります．正確な定義を知っている方は御一報下さい．

対称群

まずは，全ての並べ替えの操作を元とする集合が，群になることを確認しましょう．本当は，細かい部分をきちんと証明をすべきですが，ここは元の公理が満たされることを直感的に理解して，先に進むこととします．

  1. 並び替えの方法について，この集合には全ての方法が含まれていますので，二つの並び替え操作を合成しても，結局，なにか既知の並び替えの方法に等しくなるはずです．つまり，この集合は，演算の合成に対して閉じています．
  2. 結合則がなりたちます．(いくつか試して，確認してみてください．)
  3. 単位元が存在します．(単位元は『順番を何にも変えない』操作です．)
  4. 逆元が存在します．(元に戻すための逆の並べ替えもあるはずです．)
[‡]一般に，並べ替え操作は非可換であることも確認してみてください．

記号や関係する概念

簡単のため， (abc) を (bca) に並べ変える操作を，次のように括弧で表現することにします．上の段の文字が，この操作によってそれぞれ下の段の文字になるよ，という意味です．行列ではないので，混乱しないように注意してください．

\Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\b & c & a \\\end{array}\Big)

３つの文字列の並べ替え操作からなる対称群には，6個の元(群の元の個数を 位数 と呼ぶのでした)がありました．一般に， n 個の文字列の置換操作からなる群を， n次対称群 と呼び， S_{n} のように書きます．一般に， n 個の文字列を並び替える仕方は， n! 通りありますから， n 次対称群の位数は n! だと言えます．

例えば，3次対称群は具体的に次のように書けます．

S_{3}=\Big\{ \Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\a & b & c \\\end{array}\Big) , \Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\a & c & b \\\end{array}\Big) , \Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\b & a & c \\\end{array}\Big) , \Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\b & c & a \\\end{array}\Big) , \Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\c & a & b \\\end{array}\Big) , \Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\c & b & a \\\end{array}\Big) \Big\}
[§]対称群は，高次代数方程式の解の公式を探求する過程で，方程式の解の対称性に着目したラグランジェやルッフィーニにより見出され，ガロアによって全面的に用いられるようになった，いわば群論の出発点となった群です．群論が特に数学的対象の持つ『対称性』と重要な関わりを持つことを考えれば，ガロアの洞察力には改めて敬服せざるをえません．

また，文字列を表わすのにアルファベットではなく，数字を使うこともできます．例えば，次のような具合です．

\Big( \begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 2 & 1 & 5 & 4\\\end{array}\Big)

互換

とくに，文字列の中の二つだけを入れ替えて，他の順番は変えないような並び替えを 互換 と呼びます．例えば，次の置換は， a はそのままに， b と c だけを入れ替える互換です．

\Big( \begin{array}{ccc}a & b & c \\a & c & b \\\end{array}\Big)

簡単のため，このような互換を (bc) のように略記してしまうこともあります．また，互換を数字で (1 \ 2) のように書くこともありますが，数字の 12 と間違えないように，数字の間を少し間をあけて書きます．

巡回置換

全部の並びを，一つずつずらすような置換を， 巡回置換 と呼びます．例えば，次の置換は４項の巡回置換です．

\Big( \begin{array}{cccc}a & b & c & d\\b & c & d & a\\\end{array}\Big)

全ての巡回置換だけを集めると群になりますが，これを 巡回群 と呼びます．

巡回置換も，簡単のために (a \ b \ c \ d) のように略記してしまう場合があります．例えば，もし (a \ c \ d \ b) と書いてあったら一つずつずらして見ていけばよく，『 a を c に， c を d に， d を b に， b を a に置き換える置換』という意味です．

一般に巡回置換は互換の積として表わすことが可能で， n 項の巡回置換は高々 n-1 個の互換に分解できます．また，一般の置換は，巡回置換と互換の積に分解できます．

theorem

n次の巡回置換は，高々n-1個の互換の積に分解できます．

proof

証明は帰納法によります． n=2 の場合は，明らかに 1 個の互換， n=3 の巡回置換は二種類しかありませんが， (1 \ 2 \ 3)=(1 \ 2)(2 \ 3) , (1 \ 3 \ 2)=(1 \ 3)(2 \ 3) となって，どちらも二個の互換で表わせます．一般に n 項の巡回置換が n-1 個の互換の積で表わせるとします．このとき， n+1 個の文字の巡回置換 \Big( \begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & .... & a_{n} & a_{n+1}\\ b_{1} & b_{2} & .... & b_{n} & b_{n+1}\\ \end{array} \Big) を考えます．例えば a_{1} に着目すると， b_{1},b_{2},....,b_{n}, b_{n+1} の中には，必ず a_{1} と等しいものがあるはずです(これを b_{p} とします)．すると， \Big( \begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & .... & a_{n} & a_{n+1}\\ b_{1} & b_{2} & .... & b_{n} & b_{n+1}\\ \end{array} \Big)=(b_{1} \ b_{p}) \Big( \begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & .... & a_{n} & a_{n+1}\\ a_{1} & b_{2} & .... & b_{n} & b_{n+1}\\ \end{array} \Big)=(b_{1} \ b_{p}) \Big( \begin{array}{cccc} a_{2} & .... & a_{n-1} & a_{n}\\ b_{2} & .... & b_{n-1} & b_{n}\\ \end{array} \Big) となります． \Big( \begin{array}{cccc} a_{2} & .... & a_{n-1} & a_{n}\\ b_{2} & .... & b_{n-1} & b_{n}\\ \end{array} \Big) の部分は n-1 の互換で表わせるはずでしたので，全体として n 項の互換で表わせるはずです■

系として，この定理は次のように書かれることもあります．

theorem

任意の置換は，巡回置換の積として表わせます．

互換は巡回置換の一種なのですから，この定理は明らかです．

偶置換と奇置換

対称群に関する概念で大事なものに，偶置換と奇置換というものがあります．巡回置換は全て互換の積として表わせるということでしたが，一般に対称群に含まれる任意の元は，互換の積として表わせるのです．

theorem

対称群に含まれる任意の元は，全て互換の積として表わせます．

さて，では対称群の元を互換の積として表わす表わし方ですが，これは一通りには決まりません．(ちょっと考えれば分かることですが，順番に並んでいるものを並び替えるとき，効率の良い並び替え方や，余分な並び替えを含むやり方など，色々あります．)

ところが，偶数個の互換の積として表わせるか，奇数個の互換の積として表わせるかという区別は，対称群の元そのものによって，どちらかに決まっているのです．

theorem

ある置換が偶置換か奇置換かは，生来的に決まっています．

proof

任意の互換を二乗すると，元の状態に戻ります．つまり，単位元は互換の二乗で表現でき，偶置換だということができます．さて，任意の偶置換 g が，他の表わし方 f を持つとします( g=f )． g には逆元がありますので，両側から掛けると g^{-1}f=e となります． g^{-1} と e はそれぞれ偶置換ですので， f も偶置換のはずです．奇置換についても同様に照明できます■

対称群の元 \sigma が偶数個の互換の積として表わせる場合，これを 偶置換 ，奇数個の互換の積として表わせる場合，これを 奇置換 と呼びます．偶置換か奇置換かは， {\rm sgn} という記号を使い，偶置換の場合は 1 ，奇置換の場合は -1 だと定めておくと，簡単に表わせます．例えば， \sigma が偶置換の場合， {\rm sgn}\sigma = 1 という具合です．