部分群という言葉は,ここまでにも何度も出てきました.直観的にも理解しやすい概念だとは思いますが,あまり正確に定義してはいませんでした.今後の議論に備えて,もう少し議論を掘り下げます.
ここまでは群の例を考えてきましたが,この辺りから群の性質に関する話が増えてきます.内容が抽象的すぎて分からないと感じたら,いつでも簡単な具体例に戻り,その話題を十分に消化するまで悩むことが大切です.先を急いではいけません.
ここまで,部分群という言葉をあまり正確に定義せずに使ってきましたが,今後,群を部分群に分けることが話題になりますので,まずは,もう少し丁寧に部分群の定義を与えるところから始めます.
群 の部分集合 が次の二つの条件を満たすとき, を の部分群と呼びます.
まず,ここで行われている演算は, の演算と同じですから,結合則がなりたつことは前提になっています.最初の条件は,演算が閉じていること,すなわち群の公理の一番目の条件です.二番目の条件は,逆演算が存在するという主張です.
あとは,単位元の存在が示せれば も群だと言えるのですが, で と置けば, となって, と から自動的に単位元の存在は保証されます.すなわち, と を満たすことが,部分群となるための条件です.
群 の部分群のうち,最大のものは 自身です.また,最小のものは単位元 だけからなる群 です.この二つは 自明な部分群 と呼びます.どんな群にも,この二つの部分群だけは必ず存在するからです.これら以外の部分群を 真部分群 と呼びます.真部分群があるかないかは,群によります.
群 (どんな群でも構わない)の任意の元 に対し, を生成元とする巡回群 が存在するならば, は の部分群となります.これを 巡回部分群 と呼びます.
巡回部分群 が,部分群の定義 と を満たすことを確認してみましょう.まず, には の全ての冪乗が含まれているはずですので,次式がなりたちます.
また, に対して も必ず に含まれてますから,逆元が存在し, より単位元も に含まれます.
上で与えた部分群の定義は直感的に意味も分かりやすく,十分にシンプルなものですが,さらに二つの条件を一つにまとめてしまうことができます.
条件 と より,次式が言えます.
条件 は条件 と から導かれた必要条件です.しかし逆に が成り立つとすると, と置くことで, となり, 条件2.を導けます.
条件 が示せると,ここから として,条件(1)も導けます.(単位元は, とすれば, となり, に含まれることが示せます.)
従って,条件 は条件 の必要十分条件になっており, の代わりに を部分群の定義にしても良いということになります.
[*] | パッと見たところ,式 は片一方にだけ が付いていたりして,これだけから群の公理を示せるというのが分かりにくい式形です.しかし,馴れるしかありません. |
ここまでの議論をまとめます.次の 〜 は,部分群の定義としてどれも同値だということになります.
4番目の定義が,ぱっと見ただけでは分かりにくいかも知れませんが,一番簡潔な表現になっているため,今後よく出てくることと思います.これを機会に慣れておきましょう.
[†] | 加法群では と書かれますので,4番目の定義は となります.こんな形にも慣れておくと良いです. |
四番目の定義を使って,次のことを確認してみましょう.
群 が群 の部分群であることを,記号で のように書きます.記号 は集合同士の包含関係を示すときに使い, は元の帰属関係を示すのに使います.例えば, と書けば, と が集合 の元だという意味です.混乱しないように,記号に慣れていきましょう.