ラグランジェの定理

ここまでに，群の位数と，元の位数という，紛らわしい二つの言葉が出てきました．混乱しやすいので，もう一度定義をおさらいします．

  1. 群の位数とは，群の元の数です．
  2. 元の位数とは，群のある元を生成元として有限部分巡回群がつくれるとき，その部分巡回群の位数のことです．

では，先に進みましょう．

ラグランジェの定理

有限群 G の位数と，その部分群 H の位数の間には，ラグランジェの定理と言われる美しい関係が成り立っています．

theorem

群 G の部分群の位数は， G の位数の約数になる． |G|=|G:H||H| ．

proof

群 G の部分群 H による類別が G=a_{1}H+a_{2}H+....+a_{r}H のように表わされるとします． G は有限群なので，有限個( r 個としています)の類によって類別できるはずです．そこで位数について |G|=r|H| の関係が言えます． r を r=|G:H| と書くのでしたので， |G|=|G:H||H| が言えます．■

証明中では，当たり前と考えて言及しませんでしたが，各類に含まれる元の個数が H の位数に等しいことが本質的に重要です． H から a_{i}H の元を作る a_{i}h という演算は一意的なので， H の元と a_{i}H の元の間には一対一対応が成り立ち，元の個数は同じになるわけです．このあと軌道や中心という概念を勉強するとき，ラグランジェの定理が重宝しますので，覚えておくと良いでしょう．

[*]実は 剰余類２ で紹介した指数の定理 |G:K|=|G:H||H:K| において K=\{ e \} と置けばラグランジェの定理になります．
[†]ラグランジェの時代には群論はまだ完成していませんでしたが，既に幾つかの具体的な例について，ラグランジェはこの定理に気が付いていたということです．恐るべき慧眼です．
[‡]このあたりの記号にまだ慣れていない人は，もう一度 剰余類 や 完全代表系と商集合 の記事を復習してください．
Joh-Lagrange.gif

(群論が生まれる前から群の概念に到達していたラグランジェ)

定理

theorem

位数が素数の有限群は巡回群であり，真部分群を持たない

proof

群 G の元 a (\ne e) を生成元として，巡回部分群 H を生成することを考えます．このとき，ラグランジェの定理により， |H| は |G| の約数となるはずですが， |G| は素数( P とする)ですから， |H| は p か 1 しかあり得ません．しかし， H には少なくとも a と e が含まれますので |H| は 1 ではなく， |H|=p が言えます． G の位数と部分群 H の位数が等しいということは， H が G 自身であるということです．従って， H は G の真部分群ではないことが言えます．■

[§]素数のことをよく p で表わしますが，英語で素数を prime \ number と言うので，その頭文字から来ています．