ここまでに,群の位数と,元の位数という,紛らわしい二つの言葉が出てきました.混乱しやすいので,もう一度定義をおさらいします.
では,先に進みましょう.
有限群 の位数と,その部分群
の位数の間には,ラグランジェの定理と言われる美しい関係が成り立っています.
theorem
群 の部分群の位数は,
の位数の約数になる.
.
proof
群 の部分群
による類別が
のように表わされるとします.
は有限群なので,有限個(
個としています)の類によって類別できるはずです.そこで位数について
の関係が言えます.
を
と書くのでしたので,
が言えます.■
証明中では,当たり前と考えて言及しませんでしたが,各類に含まれる元の個数が の位数に等しいことが本質的に重要です.
から
の元を作る
という演算は一意的なので,
の元と
の元の間には一対一対応が成り立ち,元の個数は同じになるわけです.このあと軌道や中心という概念を勉強するとき,ラグランジェの定理が重宝しますので,覚えておくと良いでしょう.
[*] | 実は 剰余類2 で紹介した指数の定理 ![]() ![]() |
[†] | ラグランジェの時代には群論はまだ完成していませんでしたが,既に幾つかの具体的な例について,ラグランジェはこの定理に気が付いていたということです.恐るべき慧眼です. |
[‡] | このあたりの記号にまだ慣れていない人は,もう一度 剰余類 や 完全代表系と商集合 の記事を復習してください. |
(群論が生まれる前から群の概念に到達していたラグランジェ)