教科書によく出てくるものに,クラインの四元群というものがあります.クラインの四元群とは,位数4の可換群です.位数4の可換群なので, の群表(対角線に対して対称になるはず)を書けば,元同士の演算関係を網羅できるはずです.
群の構造としては,群表を書いた時点で説明を尽くしているのですが,具体的にはクラインの四元群は 各軸回りに
度回転させる回転操作の群として表現されます.
次図のように, 軸,
軸,
軸に沿って図形を
度回すような回転を,それぞれ
と名づけます.(有限回転の操作は,一般に非可換です. 無限小回転1 を参照してください.しかし,回転角が
度の場合は可換になります.つまり,これは有限回転の操作の中では,かなり例外的なものです.)
例えば, の操作の後に続けて
の操作を行うことは,
の操作に等しくなります.
想像だけで考えていると混乱してくるので,どうか何か手に取って,実際に回して確認してみてください.同様に, に続けて
を行う変換は,
に等しくなります.また,同じ変換を二回続けて行うと,何もしなかったの(恒等変換
)と同じになります.
これらの回転操作 は群をなします.群表にまとめると,次のようになります.
e | p | q | r | |
---|---|---|---|---|
e | e | p | q | r |
p | p | e | r | q |
q | q | r | e | p |
r | r | q | p | e |
[*] | クラインの四元群の元 ![]() ![]() ![]() |
上の表中, として,回転操作の代わりに,次のような四つの行列の積を考えても,上と同じ群表を満たします.計算して確かめてみましょう.ただし
は二乗して
となる, 分離複素数 と呼ばれるちょっと変わった数です.複素数ではありません.
つまり,これらの行列の集合は,群として同じ構造をしているということです.他にもクラインの四元群と同じ構造の集合(元が4つあり,同じ群表を満たすもの)を探してみましょう.
[†] | クライン( ![]() |
二つの文字からなる集合 と
を考えます.これらを組み合わせできる文字は全部で
の4つです.これに二つの関数
を考えます.
は文字に作用すると
と
を入れ換えてしまう関数です.すなわち
のようになります.一方,
は数字を入れ換えてしまう関数で
のように働きます.