体(たい)

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ある集合があって，その集合が，四則演算(加法，減法，乗法，除法)に関して閉じているとき，この集合を体と呼びます．

体の公理

以下の条件を満たす集合を体と呼びます．

加法について可換群になっています．(加法が閉じており，単位元，逆元があります)．加法の単位元を特に零元と呼びます．
乗法について可換群になっています．(乗法が閉じておりる，単位元，逆元 $a^{-1}$ があります．ただし，加法の単位元の逆元だけは定義できません．)
加法と乗法について分配法則がなりたちます． $(a+b)c=ac+bc, \ a(b+c)=ac+ac$

いままで群について学んで来ましたが，群には演算が一種類だけ与えられているのでした(そしてそれは加法でも乗法でも良かったのでした)．体には，加法と乗法という，二種類の演算が入っています．加法の逆演算は減法，乗法の逆演算は除法ですから，要するに 体とは四則演算が可能な集合のことである と考えられます．

[*]	体は加法に関しては群，乗法に関しても零元を除いて群になっていますので，いままで群論で勉強した概念が，だいたいそのまま体にも当てはまります．また体は，次に勉強する環よりも強い構造ですので，環に当てはまる議論が，ほとんどそのまま体に適用できます．

[†]	いままで，群論に出てきた情報は一般には非可換でしたが，体の乗法は可換ですので，計算が随分と簡単になることを感じられると思います．体の公理に準じつつも，乗法は非可換の体を「斜体」と呼びます．こんな変な体は，今は覚えなくても大丈夫です．

例

下の例を考えながら，『四則演算の定義された集合』というのがどういうものか，堪能してみてください．今まで普通に知っていた集合が多いと思いませんか？

例１

有理数の全体は体です．有理数＋有理数，有理数-有理数，有理数×有理数，有理数÷有理数(ただし零では割らない)は，いずれも有理数になるからです．これを 有理数体 と呼び，で表わします．

例２

実数の全体も体になります．実数同士は足したり，引いたり，掛けたり，割ったりでき，結果も実数になるからです．同じく 実数体 と呼び，で表わします．

例３

複素数の全体も体になります．自分で確認してみましょう． 複素数体 と呼び，で表わします．

例４

整数の全体は体ではありません．整数÷整数は，かならずしも整数にはならないからです．自然数の全体も体ではありません．自然数-自然数や，自然数÷自然数が，かならずしも自然数にはならないからです．

例５

四元数の全体は体になります． 四元数体 と呼ばれます．四元数の四則演算については，四元数を参照ください．

例６

整数の加法群から，素数の剰余群 Z/[p] を作ります( [p] はの倍数の集合の意味です．なぜを素数とするのかは後ほど整域・整数の剰余類の環_ で説明します．)

$Z/[p]=\{[p],1+[p],2+[p],...,(p-1)+[p] \}$

この元の中で偶数からなる元を $\overline{0}$ , 奇数からなる元を $\overline{1}$ と表わすと，元の間に次のような加法と乗法を定義できます．

$\overline{0} + \overline{0} = \overline{1} + \overline{1} = \overline{0}$

$\overline{1} + \overline{0} = \overline{0} + \overline{1} = \overline{1}$

$\overline{0} \overline{0} = \overline{1} \overline{0} = \overline{0} \overline{1} = \overline{0}$

$\overline{1} \overline{1} = \overline{1}$

零元は $\overline{0}$ ,乗法の単位元は $\overline{1}$ です．このような加法と乗法に対して， Z/[p] は体になります．

例７

例６では，まず具体的に整数の剰余群を考えたので，演算結果も納得し易いものだったと思います．しかし本質的には，例６で考えた演算が内部演算として成り立つ集合は，整数の剰余群に限られる必要はないわけです．そこで例６の結果を，もっとクールに次のように言い換えることができます．

『たった二個の元からなる集合 $\{ 0,1 \}$ に 0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=0,00=0,01=0,11=1 のように演算を定義すれば体になる』

[‡]

これだけ最初に見ると 1+1=0

のところで吃驚してしまうと思います．この吃驚の意味するところは深長です．ときに『どうして１足す１は２になるんだ？証明してくれ！』という人や『１足す１が絶対２になるように，答えが一つに決まっているから私は数学が好きです(好きでした)』と言う人に出くわしますが，残念ながら，この手の人は数学の一面しか見ていません．日常， 1+1=2

になるのは『そのように演算を定義した体の上で加法を行っていたから』というのが真相なのです．ルールの全く無いゲームは出来ないように，演算にもルールがなくてはなりません．"普通の"足し算は，小学校以来慣れ親しんで来ていますので，ルールも何も，当たり前なんじゃないかと思いますが，実は，小学校で習ったのは『 1+1=2

になるようにルールを決めて，ルール通りに計算したらやっぱり 1+1=2

になったよ』という計算練習だったのです．これは証明する対象なのではなくて，単なる約束事です．(サッカーでボールを手で触ってはいけないのは，証明する事柄ではなくて単なるルールです．同じボールでドッヂボールをやるなら手で取らなければなりません．)例６で見た剰余体は実数体とは異なるルールに従う加法・乗法を持っていました．大事なのは，色々なルールがあるんだということを明示的に意識し，いつでも自分がどんなルールに従って(つまりどんな体の上で)計算しているのかを認識することです( 数学に出てくる○○空間ってなんだ？も参照ください)．

[§]	上の註は，私達が『数』と呼ぶ集合が，基本的に体であることを念頭に書きました．単にがになる演算規則を考えたいだけなら，体でなくとも，環や群でも良いでしょう．

[¶]

例７のような演算規則に従って構成される体をブール体と呼びます．ブール体上の計算は全て

と

だけになり，計算機理論で応用されています．例６では整数を偶数と奇数に分け，偶数と奇数の演算としてこの演算規則を導入しましたが，実は論理学で使われる真偽表が，まったく同じ規則を満たすのです．下の表は真偽表と呼ばれるもので，例えば一番左の列は『文

の内容』に従って，真の場合は

，偽の場合は

が与えられています．記号 $p[\rm XOR]q$ は排他的論理和と呼ばれ，『

か

のどちらか一方が真である』ことを意味します(そのため両方が真の場合，この命題は偽になります)．記号 $p[\rm AND]q$ は論理積と呼ばれ『

かつ

が真である』ことを意味します．さらに興味のある方は，ブール代数，数理論理学，ビット演算などをキーワードに勉強してみてください．

(真)と (偽)による真偽表
文	文	$p{\rm XOR}q$	$p{\rm AND}q$
0	0	0	0
1	0	1	0
0	1	1	0
1	1	0	1

補足

体という概念を最初に導入したのは，デデキント $\text{(Richard Julius Wilhelm Dedekind (1831-1916))}$ です．デデキントは『有機的な全体として一つに閉じた集合』という意味合いで，ドイツ語で『人体，体』を表わす $K\ddot{o} rper$ と名づけました．邦訳はそれをそのまま『体』と訳したわけです．( $K\ddot{o} rper$ は死体の意味にもなります．)そこで，体を表わす記号にを用いる教科書も多いようです．この用語については，当初からヨーロッパでも「意味が分かりにくい」という批判があったようで，デデキントもわざわざ真意を説明する補足をしたりしています．デデキントは，自律的に独立して運動できる私達の体に，四則演算のできる集合を喩えたようです．とにかく，もう定着してしまった言葉ですから，私達は慣れるしかありません．英語では， body と言わず， field という訳語を当てています．イギリス人は，デデキントの命名が気に入らなかったに違いありません．英米系の教科書では，このため体をで表すことが多いです．体は，その上でなにか演算を行う土俵となる集合ですから，その意味合いでいくと， field は野原の意味ではなくて，サッカーやラグビーのフィールドのような，何かルールに基づいて試合をする場所の意味に近いかも知れません(用語の成立過程を詳しくしっている人がいたら御一報ください)．

(数の本質を深く追求し続けたデデキント)

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