ある集合があって,その集合が,四則演算(加法,減法,乗法,除法)に関して閉じているとき,この集合を 体 と呼びます.
以下の条件を満たす集合を体と呼びます.
いままで群について学んで来ましたが,群には演算が一種類だけ与えられているのでした(そしてそれは加法でも乗法でも良かったのでした).体には,加法と乗法という,二種類の演算が入っています.加法の逆演算は減法,乗法の逆演算は除法ですから,要するに 体とは四則演算が可能な集合のことである と考えられます.
[*] | 体は加法に関しては群,乗法に関しても零元を除いて群になっていますので,いままで群論で勉強した概念が,だいたいそのまま体にも当てはまります.また体は,次に勉強する 環 よりも強い構造ですので,環に当てはまる議論が,ほとんどそのまま体に適用できます. |
[†] | いままで,群論に出てきた情報は一般には非可換でしたが,体の乗法は可換ですので,計算が随分と簡単になることを感じられると思います.体の公理に準じつつも,乗法は非可換の体を「斜体」と呼びます.こんな変な体は,今は覚えなくても大丈夫です. |
下の例を考えながら,『四則演算の定義された集合』というのがどういうものか,堪能してみてください.今まで普通に知っていた集合が多いと思いませんか?
有理数の全体は体です.有理数+有理数,有理数-有理数,有理数×有理数,有理数÷有理数(ただし零では割らない)は,いずれも有理数になるからです.これを 有理数体 と呼び, で表わします.
実数の全体も体になります.実数同士は足したり,引いたり,掛けたり,割ったりでき,結果も実数になるからです.同じく 実数体 と呼び, で表わします.
複素数の全体も体になります.自分で確認してみましょう. 複素数体 と呼び, で表わします.
整数の全体は体ではありません.整数÷整数は,かならずしも整数にはならないからです.自然数の全体も体ではありません.自然数-自然数や,自然数÷自然数が,かならずしも自然数にはならないからです.
整数の加法群 から,素数
の剰余群
を作ります(
は
の倍数の集合の意味です.なぜ
を素数とするのかは後ほど 整域・整数の剰余類の環_ で説明します.)
この元の中で偶数からなる元を , 奇数からなる元を
と表わすと,元の間に次のような加法と乗法を定義できます.
零元は ,乗法の単位元は
です.このような加法と乗法に対して,
は体になります.
例6では,まず具体的に整数の剰余群を考えたので,演算結果も納得し易いものだったと思います.しかし本質的には,例6で考えた演算が内部演算として成り立つ集合は,整数の剰余群に限られる必要はないわけです.そこで例6の結果を,もっとクールに次のように言い換えることができます.
『たった二個の元からなる集合 に
のように演算を定義すれば体になる』
[‡] | これだけ最初に見ると ![]() ![]() ![]() ![]() |
[§] | 上の註は,私達が『数』と呼ぶ集合が,基本的に体であることを念頭に書きました.単に ![]() ![]() |
[¶] | 例7のような演算規則に従って構成される体をブール体と呼びます.ブール体上の計算は全て ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
文 ![]() |
文 ![]() |
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0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
体という概念を最初に導入したのは,デデキント です.デデキントは『有機的な全体として一つに閉じた集合』という意味合いで,ドイツ語で『人体,体』を表わす
と名づけました.邦訳はそれをそのまま『体』と訳したわけです.(
は死体の意味にもなります.)そこで,体を表わす記号に
を用いる教科書も多いようです.この用語については,当初からヨーロッパでも「意味が分かりにくい」という批判があったようで,デデキントもわざわざ真意を説明する補足をしたりしています.デデキントは,自律的に独立して運動できる私達の体に,四則演算のできる集合を喩えたようです.とにかく,もう定着してしまった言葉ですから,私達は慣れるしかありません.英語では,
と言わず,
という訳語を当てています.イギリス人は,デデキントの命名が気に入らなかったに違いありません.英米系の教科書では,このため体を
で表すことが多いです.体は,その上でなにか演算を行う土俵となる集合ですから,その意味合いでいくと,
は野原の意味ではなくて,サッカーやラグビーのフィールドのような,何かルールに基づいて試合をする場所の意味に近いかも知れません(用語の成立過程を詳しくしっている人がいたら御一報ください).
(数の本質を深く追求し続けたデデキント)