ラグランジェの仕事

カルダノ以降，大きな進展は無かった方程式論に，その後のガロア理論に続く大きな一歩を踏み出したのが，フランスの大数学者・ラグランジェ( )です．ラグランジェは，方程式の解と，解を置換する操作との関連に目をつけました．（置換については 対称群 を参照してください．）例えば，三次方程式の解を とし， の解を （ただし ）とし，これを組み合わせて，次のような量を考えてみます．

これを ラグランジェのリゾルベント と呼びます． の並べ替えには 通りありますが，置換操作によって を入れ替えても， の取りうる値には二つしかありません．面白い！最初に，方程式の解と の 乗根を，こんな形で組み合わせてみよう，と考えたのは，ラグランジェの恐るべき慧眼で，ラグランジェは，ラグランジェのリゾルベントを用いて，五次以上の方程式の解を表現する方法も提案しています．

ラグランジェの解法は，改めて 累開冪拡大とガロア群の関係 で紹介しますので，ここでは詳しく説明しませんが，どうやら五次以上の方程式でも代数的に解ける場合というのは，解の入れ替えを 巡回置換 によって行える場合に限りそうだ，ということが分かってきました．（いま，チラッと 累開冪拡大とガロア群の関係 を見てもいいです．） 次方程式の可解性と， 個の解の置換という，一見まったく関係なさそうな話題の関連性を見破ったという点において，ラグランジェの功績は画期的です．ただし，ラグランジェ自身は，五次以上の方程式にも解の公式があるだろうという楽観的な見方を最後まで持っており，せっかく置換操作を深く考えたにも拘らず，方程式の可解性そのものと巡回群の関係を追及するところまでには到らず，現代的な群論にまでは発展しませんでした

可解性と巡回群の関係に気づいたラグランジェ．群論まであと一歩だった．

[‡]

ここで問題になっているのは，『方程式を代数的に解く』という話です．代数的に解くというのは，加減乗除と開冪（ 乗根を取る操作）だけを有限回使って，方程式の解を方程式の係数で表すということです．五次以上の方程式にも 代数学の基本定理 により，必ず複素数解まで考えれば解が存在しますし，代数的方法にこだわらなければ解を求めることは出来ます．例えば，無限回の操作を許せば解を表現することは出来ます．（現実的には，無限回の計算はどこか有限回で打ち切って近似になるわけですが，これはコンピューターを使った数値計算で方程式を解く際のアルゴリズムになります．）また，楕円関数を使って五次方程式の解を表現するというような方法もあります．数学者達が『代数的に解く』という方法にこだわったのは，一種のゲームだと考えられます．このゲームへ挑戦することで，実際的に五次方程式を解く云々というよりは，方程式の解とは何か，といったより本質的な問題への理解が発展し，現代代数学の基礎ができたのでした．

ルッフィーニの仕事

ラグランジェの論文は 年に発表されましたが，これを発展させ，実質的に『五次方程式は一般には解の公式によって解けない』という結論に達したのは，医者でもあり数学者でもあった，イタリアのルッフィーニ( )です．この時代の多くの数学者や科学者と同じく，ルッフィーニもナポレオン戦争の影響を受け，大学の職を失ったりしていますが，あまり気にせず研究を続けました．

ルッフィーニの偉大な点は，『もしかして，五次方程式は代数的に解けないのではないか？』ということに気づいたことです．ルッフィーニ以前に五次方程式の問題に取り組んだ数学者は，オイラー やラグランジェをはじめとして，ほぼ全員が『どんなに複雑でも，きっと解の公式はある』という希望を持っていました．こうした潮流の中で， 度逆の発想をするというのは，想像以上に勇気の要ることだったはずです．

ルッフィーニは，ラグランジェの業績に触発され，それを発展させました．ラグランジェ自身は解を並べ替えるという操作を，群という考えに結びつけるには至りませんでしたが，ルッフィーニは現代の群論に近い考えを推し進め，巡回群，単純群などの概念を整理しました．ルッフィーニの用語法や書き方は，現代のものとは全然違っていますし，群論もまだ未発達でしたが，今風の言い方で書けば，ルッフィーニは次のような定理を考えたと言えます．

ルッフィーニの証明には小さな間違いが含まれていたようですが，これでルッフィーニを責めるのは酷に過ぎます．というのは，ルッフィーニはこの証明を 年に出版し，ラグランジェにも送りつけましたが（どうやら読んでないと感じ取ると，しつこく何度も送っています），当時の数学界からは無情なほどに無視され，ラグランジェもルッフィーニの証明を最後まで読まなかったようなのです．もし，誰か大物数学者が丁寧に証明を読めば，不備に気づいたかも知れませんし，指摘さえされれば，ルッフィーニは恐らく証明を改良できたでしょう．（実際，ルッフィーニ自身， 年， 年， 年，と何度も改良版を出版していますが，ほとんど無視されてしまいました．）

正当な評価を受けられず，気の毒だったルッフィーニ．肖像画もちょっと陰気だ．

ルッフィーニはその後，医者の仕事は続け，哲学の問題も考えましたが，数学的にはほとんど目覚しい仕事をしていません．晩年にコーシーがルッフィーニの定理を高く評価し，また，数人のイタリア人数学者が，同国人という愛国的理由により，ルッフィーニにエールを送っていますが，ドイツやフランスの有名な数学者たちに評価されることは最後までありませんでした．

アーベルからガロアへ

ルッフィーニの証明を完成させたのは，ノルウェーのアーベル( )です．アーベルの証明は，ルッフィーニの証明とは別に考えられましたが，いまでは惜しい所まで行った先人のルッフィーニに敬意を表して，ルッフィーニ＝アーベルの定理と呼ばれることもあります．とにかく，アーベルによって，『五次方程式は代数的には解けない』ということの証明が完了しました．

アーベルは，オスロ近郊の寒村 に生まれました．いまでも，アーベルの生地であるということ以外，特に見るべきもののない村のようです．ノルウェーは当時，人も国も貧しい後進国で，教育制度も遅れており，相次ぐ戦争や飢餓によって大変な状況にありました．しかし，アーベルの天才を認めた周囲の人や王室の応援も受けて，アーベルはフランスやドイツに留学することができました．（王室の精一杯の援助も，留学生活を支えるには不十分で，赤貧の中にアーベルは徐々に健康を崩していきます．）しかし，ドイツやフランスの数学者は，この田舎の青年に冷たく，ガウス( )には無視され，コーシー，ルジャンドル ，ポアソン ，フーリエ( )などにも，まったく相手にされませんでした．唯一，真面目に話を聞いてくれたのが，ベルリンのクレルレ( )です．

クレルレ自身には目立った数学的業績は無いのですが，クレルレには若い有能な人材を見抜き，助力を惜しまないという美徳がありました．アーベルはドイツ語もフランス語も下手なうえ，初対面でいきなりクレルレの論文の間違いを指摘したようで，不愉快なら追い払うことも出来たはずですが，直ちにアーベルの天才を見抜いたクレルレは，自らが主宰する論文誌にアーベルの証明を載せました．アーベルの定理が世に広く知られるようになったのは，このようにクレルレの応援も無視できませんし，その意味でアーベルはルッフィーニよりも幸運でした．

アーベルはなかなかハンサムだ．性格もとても良かったらしい．

[§]	クレルレの論文誌は 今でも 続いています．クレルレが才能を見出した数学者には，アーベルの他にヤコブ・シュタイナー( )などがおり，また，ディリクレ( )，アイゼンシュタイン( )，グラスマン( )，クンマー( )，ワイエルシュトラス( )なども，彼等の処女論文をクレルレの雑誌の載せています．若い才能ある人を伸ばす，という役割も非常に大事であると痛感させられます．

アーベルはその後，超越関数や楕円関数の研究を進めて大きな業績を上げますが，結核にもかかり，健康は徐々に悪化していきました．この間，画期的な超越関数の論文を，ルジャンドルには『字が読みにくい』という理由で無視され，コーシーには例によって原稿を失くされてしまったりしています．最後に，アーベルは婚約者を友人に頼み，わずか 歳でこの世を去りました．（友人と婚約者は，遺言どおりアーベルの死後結婚しています．）

長い間，数学者を悩ませてきた五次方程式の解の公式の問題は，アーベルによって最終的に（否定的な形で）解決されたわけですが，方程式の可解性の必要十分条件を一般的に示すのが，いま勉強しているガロア理論です．ガロア理論を使い，可解群，ガロア群といった言葉を使えば，ルッフィーニやアーベルの証明ももっと簡単に，かつ，より包括的に考えることが出来ます．ガロアの劇的な人生については，またあとで触れることにします．