代数的数と超越数

一つの前の記事 代数方程式の性質 で代数方程式を定義しました．

a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0

特に， 有理係数の代数方程式の解 を 代数的数 と呼びます．例えば \sqrt{2} や i は， x^{2}-2=0 , x^{2}+1=0 といった有理係数代数方程式の解ですから代数的数です． \root 100\of 2 もやはり x^{100}-2=0 という有理係数代数方程式の解ですから代数的数です．一方， \sqrt{\pi} は x^{2}-\pi =0 という代数方程式の解ではありますが，係数 \pi が有理数ではありませんので，この例を見る限り \sqrt{\pi} は代数的数ではありません．

しかし，他に \pi を解とする，有理係数の代数方程式は一切存在しないと言えるのでしょうか？世の中には無限に代数方程式があるわけですから，どんな数だって，何らかの代数方程式の解になっているということないでしょうか？実は，世の中の仕組みはそうはなっていません．どうしても代数方程式の解にはならない数が無数に存在します．これらを 超越数 と呼びます．

超越数の有名な例には \pi , e, 2^{\sqrt{2}} 等があります．ある数が代数的数であることを証明するのは簡単ですが，超越数であることを証明するのはとても難しいことです． \pi が超越数であることの証明は 1882 年，リンデマン( \text{Ferdinand von Lindemann (1852-1939)} )によってなされましたが，とても難しいものだそうです．

Joh-Lindemann.gif

( \pi が超越数であることを証明したリンデマン)

練習問題１

一般に， a+ \root n\of {c} \ b \ (a,b,c \in Q) の形をした数は代数的であることを示して下さい．(ヒント：このような数を x と置いて，移項したり累乗したりして代数方程式を作ってみましょう．)

練習問題２

\cos (k\pi) は k が有理数であるときに代数的数であることを示して下さい．(ヒント：加法定理を使ってみましょう．)